勾股数组

毕达哥拉斯定理（即勾股定理）经典的公式；对于一个直角三角形中两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。

                                                                                

勾股数组（a，b，c）为满足方程：的自然数三元组。

对于一个勾股三元组（a，b，c）乘以整数d，得到（da，db，dc）也是勾股数组。

因为：

即得到勾股数组是无穷多个。

上式可以知道一个勾股三元组可以通过乘以整数d来得到新的勾股三元组。所以问题转化为只需要关注最大公约数为1的勾股三元组。

本原勾股数组（Primitive Pythagorean Array）：一个自然数的三元组（a，b，c），其中a，b，c没有公因数，且满足

接下来我们进行简单描述来得到勾股数组定理（由于证明篇幅太大，严谨的证明可阅读数论相关书籍或资料）。

首先根据本原勾股数组的定义a，b，c没有公因数，所以a，b，c不能都为偶数，否则可提出关于2的倍数。

其次假设a和b都为奇数，则和也都为奇数（奇数个奇数还是奇数），那么c必须为偶数：

令x，y，z使得：

                             a = 2x + 1，b = 2y + 1，c = 2z

代入得：

                                      得

两边除以2得：

                      

可以看出等式左边是一个奇数而右边是一个偶数，所以a与b不能都为奇数。

所以得到a和b中有一个为奇数一个为偶数则c为奇数。

因为偶数减去一个奇数得到一个奇数是显然的事实，所以我们令a为奇数，b为偶数，则：

;再由平法差公式得：.

这里断言：假设正整数d是c-b和c+b的公因数，根据整除性质，可知两数和两数差也可被d整除。即：

,     ,   ,.

由于b与c没有公因数（因为这里的前提都是假设是本原勾股数组），所以d的为1或者2。而初始且

是一个奇数。得到d为1。

由于素数分解存在唯一性，所以c+b和c-b必须为平方数；设且其中s>t>=1(s,t为没有公因数的奇数)由此得：

勾股数组定理：

每个本原勾股数组(a, b, c)(其中a为奇数，b为偶数)有公式：,

其中s>t>=1是任意没有公因数的整数.