洛谷 P3354 [IOI2005]Riv 河流【树形dp】

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题目：

传送门

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题意：

给出一棵有$n$个节点的树，每条边有一个距离，每个点有一个权值
我们需要选出除根节点以外的$k$个节点，每个点的答案为该点的点权向上直到第一个选出的节点，表示为$w\ast dist$
求最小的答案

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分析：

首先想一想我们需要记录哪些信息：现在在哪个点、这个点的选择如何、到目前为止一共选了几个点
于是有$f_{i,s,k}$表示现在位于$i$，选择状态为$s$，在$i$的子树中一共选择了$k$个点
但在处理的过程中我发现，这样的状态表示方法看起来没啥问题，但好像答案无法正确的去计算
经过思考，我们发现某一部分的所有答案都会在一个固定的点，即连他们最近的选择的点，所以我们再新增一个状态，表示最近选择的点是哪个
更新状态$f_{i,fa,k}\&g_{i,fa,k}$表示当前在$i$，距离最近被选择的是$fa$，以$i$为根的子树内有$k$个点被选择，$f$表示不选择$i$，$g$表示选择
在处理完一个点的整个子树后因为我们只需最优解，并不刻意$i$的选择情况，所以将两个合并成一个就好咯

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代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define LL long long
using namespace std;
inline LL read()
{
	LL s=0,f=1; char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9') {s=s*10+c-'0';c=getchar();}
	return s*f;
}
struct node{
	int to,next,w;
}e[205];
int ls[105],cnt=0;
void add(int x,int y,int w)
{
	e[cnt]=(node){y,ls[x],w};
	ls[x]=cnt++;
	return;
}
int f[105][105][55],g[105][105][55];
int s[105],size=0,dis[105],w[105];
int n=read(),k=read();
void dfs(int u,int fa)
{
	s[++size]=u;
	for(int i=ls[u];~i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].to;
		if(fa==v) continue;
		dis[v]=dis[u]+e[i].w;
		dfs(v,u);
		for(int j=1;j<=size;j++)
		  for(int x=k;x>=0;x--)
		  {
		  	f[u][s[j]][x]+=f[v][s[j]][0];
		    g[u][s[j]][x]+=f[v][u][0];
		    for(int y=1;y<=x;y++)
		    {
		    	f[u][s[j]][x]=min(f[u][s[j]][x],f[u][s[j]][x-y]+f[v][s[j]][y]);
		    	g[u][s[j]][x]=min(g[u][s[j]][x],g[u][s[j]][x-y]+f[v][u][y]);
			}
		  }
	}
	for(int i=1;i<=size;i++)
	{
		f[u][s[i]][0]+=w[u]*(dis[u]-dis[s[i]]);
		for(int x=1;x<=k;x++)
		  f[u][s[i]][x]=min(f[u][s[i]][x]+w[u]*(dis[u]-dis[s[i]]),g[u][s[i]][x-1]);
	}
	size--;
	return;
}
int main()
{
	memset(ls,-1,sizeof(ls));
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x=i+1;
		w[x]=read();
		int y=read()+1,W=read();
		add(x,y,W);add(y,x,W);
	}
	dfs(1,0);
	cout<<f[1][1][k];
	return 0;
}