洛谷 CF932E Team Work【数学】

最新推荐文章于 2024-06-16 17:08:41 发布

滑稽大佬

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分类专栏：数学

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本文解析了一道组合数学中的经典求和问题，通过引入第二类斯特林数，利用组合恒等式逐步推导出求∑i=1nCni∗ik的公式，并给出了完整的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：

传送门

题意：

给出 $n, k$
求 $\sum_{i=1}^nC_n^i*i^k$

分析：

$=\sum_{i=0}^nC_n^i*i^k$
$=\sum_{i=0}^n\frac{n!}{i!(n-i)!}*\sum_{j=0}^kS(k,j)*C_i^j*j!$
$=\sum_{i=0}^n\frac{n!}{i!(n-i)!}*\sum_{j=0}^kS(k,j)*\frac{1}{(i-j)!}$
$=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^kS(k,j)*\frac{n!}{(n-i)!(i-j)!}$
$=\sum_{j=0}^kS(k,j)*\frac{n!}{(n-j)!}\sum_{i=0}^nC_{n-j}^{n-i}$
$=\sum_{j=0}^kS(k,j)*\frac{n!}{(n-j)!}*2^{n-j}$
其中 $S$ 表示第二类斯特林数
如果 $k = 0$ ，因为在后面的计算中我们将 $0^0$ 当成 $1$ 计算，所以最后答案需要 $- 1$

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>  
#include<string>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define LL long long
#define mo 998244353
using namespace std;
inline LL read() {
    LL d=0,f=1;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9'){d=d*10+s-'0';s=getchar();}
    return d*f;
}
LL ksm(LL x,LL y)
{
	LL s=1;
	while(y)
	{
		if(y&1) (s*=x)%=mo;
		(x*=x)%=mo;y>>=1;
	}
	return s;
}
LL s[5005][5005];
int main()
{
	LL n=read(),k=read();
	s[0][0]=1;
	for(LL i=1;i<=k;i++)
	  for(LL j=1;j<=i;j++)
	    s[i][j]=(s[i-1][j-1]+s[i-1][j]*j%mo)%mo;
	LL p=ksm(2,n),pp=1,ans=0,inv=ksm(2,mo-2);
	for(LL i=0;i<=k;i++)
	{
		(ans+=s[k][i]*pp%mo*p%mo)%=mo;
		(p*=inv)%=mo;
		(pp*=(n-i+mo)%mo)%=mo;
	}
	if(!k) ans=(ans-1+mo)%mo;
	cout<<ans;
	return 0;
}