【NTT】【多项式】洛谷4726 多项式指数函数

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本文深入探讨了牛顿迭代法在解决多项式方程中的应用，通过详细的数学推导和代码实现，展示了如何利用该方法进行多项式的指数运算。文章提供了完整的C++代码示例，涵盖了多项式的乘法、逆元、积分、微分、对数等操作，为读者提供了一个理解和实践牛顿迭代法的有效途径。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

分析：

牛顿迭代大法好啊

$eA(x)≡B(x)e^{A(x)}\equiv B(x)$
$A(x)≡ln(B(x))A(x)\equiv ln(B(x))$
$ln(B(x))−A(x)≡0ln(B(x))-A(x)\equiv 0$
设 $l n (B (x)) - A (x) = G (B (x))$
根据牛顿迭代法：
$B(x)=B0(x)−G(B0(x))G′(B0(x))B(x)=B_0(x)-\frac {G(B_0(x))} {G'(B_0(x))}$
$=B0(x)−ln(B(x))−A(x)1B0(x)=B_0(x)-\frac {ln(B(x))-A(x)} {\frac {1} {B_0(x)}}$
$B_0(x)(1-ln(B_0(x))+A(x))$
注意：这里的A(x)的项数为N，不是 $N2\frac N 2$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 3000010
#define MOD 998244353
using namespace std;
const int G=3;
int fsp(int x,int y){
    int res=1;
    while(y){
        if(y&1)
            res=1ll*res*x%MOD;
        x=1ll*x*x%MOD;
        y>>=1;
    }
    return res;
}
void ntt(int A[],int N,int flag){
    for(int i=1,j=0;i<N;i++){
        for(int d=N;j^=d>>=1,~j&d;);
        if(i<j)
            swap(A[i],A[j]);	
    }
    for(int i=1;i<N;i<<=1){
        int wn=fsp(G,(MOD-1)/(i<<1));
        if(flag)
            wn=fsp(wn,MOD-2);
        for(int j=0;j<N;j+=i<<1)
            for(int k=0,w=1;k<i;k++,w=1ll*w*wn%MOD){
                int x=A[j+k],y=1ll*w*A[i+j+k]%MOD;
                A[j+k]=(x+y)%MOD;
                A[i+j+k]=(x-y+MOD)%MOD;	
            }
    }
    if(flag) for(int i=0,invN=fsp(N,MOD-2);i<N;i++) A[i]=1ll*A[i]*invN%MOD;
}
void mul(int A[],int N,int B[],int M,int res[]){
    static int A1[MAXN],B1[MAXN];
    for(int i=0;i<N;i++) A1[i]=A[i];
    for(int i=0;i<M;i++) B1[i]=B[i];
    int p=1;
    while(p<=N+M) p<<=1;
    ntt(A1,p,0),ntt(B1,p,0);
    for(int i=0;i<p;i++) A1[i]=1ll*A1[i]*B1[i]%MOD;
    ntt(A1,p,1);
    for(int i=0;i<N+M;i++) res[i]=A1[i];
    for(int i=0;i<p;i++) A1[i]=B1[i]=0;
}
void inv(int A[],int N,int B[]){
    if(N==1){
        B[0]=fsp(A[0],MOD-2);
        return ;
    }
    inv(A,(N+1)>>1,B);
    static int tmp1[MAXN],tmp2[MAXN];
    int p=1;
    while(p<N<<1) p<<=1;
    for(int i=0;i<N;i++) tmp1[i]=A[i];
    for(int i=N;i<p;i++) tmp1[i]=0;
    ntt(tmp1,p,0);
    for(int i=0;i<(N+1)>>1;i++) tmp2[i]=B[i];
    ntt(tmp2,p,0);
    for(int i=0;i<p;i++) tmp2[i]=1ll*tmp2[i]*((2ll-1ll*tmp1[i]*tmp2[i]%MOD+MOD)%MOD)%MOD;
    ntt(tmp2,p,1);
    for(int i=0;i<N;i++) B[i]=tmp2[i];
    for(int i=0;i<p;i++) tmp1[i]=tmp2[i]=0;
}
void Integral(int A[],int N){
    for(int i=N;i>0;i--)
        A[i]=1ll*A[i-1]*fsp(i,MOD-2)%MOD;
    A[0]=0;
}
void Der(int A[],int N){
    for(int i=1;i<N;i++)
        A[i-1]=1ll*A[i]*i%MOD;	
    A[N-1]=0;
}
void logar(int A[],int N,int res[]){
    static int tmp1[MAXN],tmp2[MAXN];
    for(int i=0;i<N;i++)
        tmp1[i]=A[i];
    Der(tmp1,N);
    inv(A,N,tmp2);
    
    mul(tmp1,N-1,tmp2,N,tmp1);
    Integral(tmp1,N-1);
    for(int i=0;i<N;i++)
        res[i]=tmp1[i];
    for(int i=0;i<2*N;i++)
        tmp1[i]=tmp2[i]=0;
}
void Polyexp(int A[],int N,int B[]){
    if(N==1){
        B[0]=1;
        return ;
    }
    Polyexp(A,(N+1)>>1,B);
    static int tmp1[MAXN];
    logar(B,N,tmp1);
    for(int i=0;i<N;i++) tmp1[i]=(A[i]-tmp1[i]+MOD)%MOD;
    tmp1[0]++;
    mul(B,(N+1)>>1,tmp1,N,tmp1);
    for(int i=0;i<N;i++) B[i]=tmp1[i];
    for(int i=0;i<4*N;i++) tmp1[i]=0;
}
int n;
int a[MAXN],ans[MAXN];
int main(){
    SF("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        SF("%d",&a[i]);
    Polyexp(a,n,ans);
    for(int i=0;i<n;i++)
        PF("%d ",ans[i]);
}