多项式指数函数

最新推荐文章于 2023-05-06 19:47:33 发布

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最新推荐文章于 2023-05-06 19:47:33 发布 · 614 阅读

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这篇博客探讨了如何求解g(x)=exp(f(x)) (mod xn)的问题，利用牛顿迭代法直接计算，并给出了超短的AC代码实现。接着介绍了分治FFT方法优化计算过程，通过效率对比，展示了nlog2n时间复杂度的优势，特别是在处理大范围数值时的效果。

已知 $f (x)$ ，求 $\exp(f(x)) \pmod{x^n}$

$ln⁡g(x)−f(x)=0\ln g(x) - f(x) = 0$
直接牛顿迭代
$g1(x)=g0(x)−ln⁡g0(x)−f(x)1g0(x)g_1(x) = g_0(x) - \frac{\ln g_0(x) - f(x)}{\frac 1{g_0(x)}}$
$g_0(x)(1-\ln g_0(x)+f(x))$

$Code\mathrm {AC\ Code}$
$1.9 K$ 超短代码。

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 3000005
#define rep(i,j,k) for(int i=(j);i<=(k);i++)
#define per(i,j,k) for(int i=(j);i>=(k);i--)
#define mod 998244353
using namespace std;

int Wl,W[maxn],lg[maxn],r[maxn],inv[maxn];
int Pow(int b,int k){
   
    int r=1;for(;k;k>>=1,b=1ll*b*b%mod) if(k&1) r=1ll*r*b%mod;return r; }
void init(int n){
   
   
	for(W[0]=inv[0]=inv[1]=Wl=1;n>=2*Wl;Wl<<=1);int pw=Pow(3,(mod-1)/Wl/2);
	rep(i,1,Wl<<1) W[i]=1ll*W[i-1]*pw%mod,(i>1)&&(lg[i]=lg[i>>1]+1,inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]