UVA 580 Critical Mass(递推)

最新推荐文章于 2018-09-28 20:39:00 发布

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本文介绍了一种使用递推思想解决特定字符串问题的方法，该问题要求计算长度为n的字符串中有多少种包含至少三个连续'U'字符的情况。通过将问题分解并利用递推公式简化计算过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

递推思想就是把这一项递推到前一项，把问题简单化，例如Fibonacci数列f(n)=f(n-1)+f(n-2)

题目的意思就是n个长度字符中至少有3个连续的U的字符有几种

于是问题核心就是怎么递推，使问题规模减少

假设答案为f(n)，从第一个连续的U开始编号为第i,i+1,i+2个

于是字符串可以分为3部分:

第一部分为1~i-1

设有g(i-1)种

g(i-1)=全排列2^(i-1) - 存在3个U的情况f(i-1)

第二部分为3个U

只有一种

第三部分为i+3~n

有2^(n-i-2)种

利用乘法原则上述乘起来就是答案为f(n)=∑g(i-1)*2^(n-i-2) i∈[1，n-2] ，其中g(i-1)=2^(i-1) - f(i-1)

但是有一个问题，我们假设的是第一个连续的U开始编号为第i,i+1,i+2个，但是g(i-1)中却包含了第i-1也是U的种类

那么会导致与定义不符

于是分为两种情况

1）第i-1位为L，此时f(n)=∑g(i-2)*2^(n-i-2) i∈[2，n-2] ，其中g(i-2)=2^(i-2) - f(i-2)

2）第i-1位不为L，也即是不存在i-1位置，i=1，此时f(n)=2^(n-3)

依据加法原则得f(n)=2^(n-3)+∑g(i-2)*2^(n-i-2) i∈[2，n-2]

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
int f[35],g[35];
int solve(int n)
{
	if(n<3) return 0;
	else if(f[n]) return f[n];
	else
	{
		int ans=0;
		for(int i=2;i<=n-2;i++)
		{
			if(!g[i-2]) g[i-2]=(1<<(i-2))-solve(i-2);
			ans+=g[i-2]*(1<<(n-i-2));
		}
		ans+=(1<<(n-3));
		return f[n]=ans;
	}
}
int main()
{
	f[0]=f[1]=f[2]=0;f[3]=1;
	g[0]=0;g[1]=2;g[2]=4;
//	for(int i=4;i<=30;i++) if(!f[i]) solve(i);
	
	for(int n=4;n<=30;n++)
	{
		int sum=0;
		for(int i=2;i<=n-2;i++)
		{
			if(!g[i-2]) g[i-2]=(1<<(i-2))-f[i-2];
			sum+=g[i-2]*(1<<(n-i-2));
		}
		f[n]=(1<<(n-3))+sum;
	}

	int N;
	while(scanf("%d",&N)&&N)
	printf("%d\n",f[N]);
	return 0;
}