Ural 1017 楼梯问题/整数拆分（01背包/dp/母函数）

最新推荐文章于 2021-06-07 20:06:22 发布

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分类专栏：背包问题简单DP 组合数学

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本文解析了一道关于整数拆分的算法题目，通过三种不同的方法：01背包问题、放置苹果问题以及母函数法，详细阐述了解决该问题的具体思路与实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：https://cn.vjudge.net/problem/URAL-1017

大意：

建楼梯，每层逐渐减小，至少两层，相当于整数拆分，不能有相等的，求种类数。

1.01背包：

取上为1，没取为0，取到n的最大种类数。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

long long int f[1005];
int main() {
    int n;
    cin>>n;
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<n;i++) //根据题意不能加上从n得到的（n-n==0）
        for(int j=n;j>=i;j--)
            f[j]+=f[j-i];
    cout<<f[n]<<endl;
    return 0;
}

2.放苹果/整数拆分

这里相当于n个苹果放n-1个盘子，去掉有相等的和全放一个盘子的情况。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
long long int dp[505][505];

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    //fill(dp[0],dp[0]+n*n,1); 不全赋1是因为dp[0][3]不能放1，就是不能竖着垒一层
    for(int i=0;i<=n;i++)
        dp[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(i<=j)
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-i];//dp[i-1][j-i]下面一层放满后，上面最少少一个（5不能有3110）
            else
                dp[i][j]=dp[j][j];  //一个放两个等于一个放一个
    cout<<dp[n-1][n]<<endl;
    return 0;
}

3.母函数：

1+x^2：设1为质量为2的砝码取了0个（那为啥设为1呢，想下就觉得确实合适），设x^2为质量为2的砝码取了1个；

F(x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^3)……(1+x^n)

比如n==4就是乘到（1+x^4）展开，x^4的系数再减去一（减去由1+x^4得到的，至少两列）

#include<iostream>
using namespace std;
long long int ans[510]={1,1};//起初是(1+x)0和1赋为1，(1+x^2),(1+x^3),,,往里乘

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=2;i<=n;i++) //从(1+x^2)开始往里乘
        for(int j=n;j>=0;j--) //更新乘进去后的所有可能系数
            if(i+j<=n)  //n后面的系数不关心
                ans[i+j]+=ans[j];
    cout<<ans[n]-1<<endl;
    return 0;
}