母函数入门

今天好像终于对困惑已久的母函数有了些感觉的样子….赶紧水一波.jpg

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例一 骰子问题

掷两个清廉正直的骰子，点数之和为7的情况有多少？
我们来思考一下，嗯，7 = 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4所以有6种。但是这样看上去一脸不爽的样子，所以我们不妨来搞一些事情。
令$f(x) = x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6$
那么
$f(x) · f(x) = x^2+2·x^3+3·x^4+4·x^5+5·x^6+6·x^7+5·x^8+4·x^9+3·x^{10}+2·x^{11}+x^{12}$
好像很麻烦的样子，太不清真了。
但是倘若理性分析一波，就会神奇的发现，每一项系数对应的好像就是对应的方案数量。例如，$x^7$项系数对应是6，那么就有6种方法掷出来7。其实也很好理解啊，毕竟达到6这项就是通过和累加得来。
那么来思考一下：三个骰子掷出来和为10点的情况有多少？
仿照上面的方法，求一下$F(x) = f(n)^3$
得到这么一个式子：
x3+3⋅x4+6⋅x5+10⋅x6+15⋅x