Codeforces 922F Divisibility 数学+乱搞

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本文介绍了一种构造正整数集合S的算法，该集合包含不超过n个元素，并确保其中满足特定条件的数对数量等于给定值k。通过逐步删除不必要的元素并利用大于n/2的大素数进行补充，最终实现目标。

题意

设S为一个正整数集合，定义 $f(S)$ 为有多少个数对 $(a,b)$ 满足 $a\in S,b\in S,a<b,a|b$ 。
要求构造一个集合S，使得其中元素个数不大于n，且 $f(S)=k$ 。
$n\le3*10^5,k\le10^9$

分析

首先若 $k>\sum_{i=1}^n(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor-1)$ 的话显然无解。
现在考虑一个一个删数。
对于所有1和大于 $n/2$ 的素数我们先不动他们，因为大于 $n/2$ 的素数的贡献显然是1，其他的数能删就删。
最后剩下的再用大于 $n/2$ 的素数来补。
因为大于 $n/2$ 的素数个数大概是 $\lfloor\frac{n}{2lnn}\rfloor$ ，而约数最多的数貌似也只有几千个约数，所以显然是够的。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N=300005;

int n,k,f[N];
bool vis[N];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    LL s=0;
    for (int i=1;i<=n;i++) s+=n/i-1;
    if (s<k) {puts("No");return 0;}
    puts("Yes");
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=i;j<=n;j+=i)
            f[j]++;
    for (int i=n;i>=2;i--)
    {
        if (i>n/2&&f[i]==2) continue;
        int w=f[i]-1;
        for (int j=i*2;j<=n;j+=i) w+=(!vis[j]);
        if (s-w>=k) s-=w,vis[i]=1;
    }
    for (int i=n/2+1;i<=n;i++)
    {
        if (s==k) break;
        if (f[i]==2) vis[i]=1,s--;
    }
    int tot=0;
    for (int i=1;i<=n;i++) tot+=(!vis[i]);
    printf("%d\n",tot);
    for (int i=1;i<=n;i++) if (!vis[i]) printf("%d ",i);
    return 0;
}