Codeforces 954H Path Counting 动态规划

最新推荐文章于 2024-06-27 15:51:59 发布

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该博客介绍了如何利用动态规划方法解决Codeforces上的954H问题，即在给定深度的树中计算具有特定长度的简单路径数量。博主首先分析了枚举LCA的方法并不适用，随后提出枚举路径端点的思路，定义了d[i,j]和u[i,j]两个状态，并详细解释了它们的含义及状态转移方程。文章提供了问题的解决方案，重点关注了路径计数的优化策略。" 78463788,7366699,2017年11月5日机器学习日报,"['机器学习', '深度学习', '自然语言处理', '计算机视觉', '无监督学习']

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

给出一棵深度为n的树，其中深度为i的节点有a[i]个儿子。问对于每个k，有多少条简单路径满足其长度恰好为k。
n<=5000

分析

一开始的想法是枚举lca，然后对其每棵子树算贡献。
想一下发现会很难做。
那么我们考虑枚举路径的端点。
设d[i,j]表示从某个深度为i的节点开始，只往下走且长度为j的路径条数。那么d[i,j]显然等于i的子树中深度为i+j的点数。
设u[i,j]表示从某个深度为i的节点开始，第一步必须往上走，且路径长度为j的方案。
有两种转移，一种是走到父亲后继续往上，贡献就等于u[i-1,j-1]。另一种转移是走到父亲后就开始往下走，贡献就等于u[i,j-2]*(a[i-1]-1)。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N=5001;
const int MOD=1000000007;

int n,a[N],f[N][N*2],pre[N],ans[N*2];

int main()
{
    scanf("%d",&n);pre[0]=1;
    for (int i=1;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]),pre[i]=(LL)pre[i-1]*a[i]%MOD;
    for (int i=n;i>=1;i--)
    {
        f[i][0]=1;
        for (int j=1;j<=n-i;j++)
        {
            f[i][j]=(LL)f[i+1][j-1]*a[i]%MOD;
            (ans[j]+=(LL)f[i][j]*pre[i-1]%MOD)%=MOD;
        }
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=n*2-2;j>=1;j--)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j-1];
            if (i>1&&j>1&&j-2<n&&j<=i+n-2) (f[i][j]+=(LL)f[i][j-2]*(a[i-1]-1)%MOD)%=MOD;
            (ans[j]+=(LL)f[i][j]*pre[i-1]%MOD)%=MOD;
        }
    }
    for (int i=1;i<=n*2-2;i++) printf("%d ",(LL)(MOD+1)/2*ans[i]%MOD);
    return 0;
}