Codeforces 875D High Cry rmq+分治

最新推荐文章于 2020-06-22 23:07:38 发布

原创最新推荐文章于 2020-06-22 23:07:38 发布 · 660 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

分治同时被 2 个专栏收录

19 篇文章

订阅专栏

RMQ

7 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种解决特定区间问题的算法，通过分治策略快速找出满足条件的区间。利用预处理技巧加速最大值查找，并借助位操作实现高效判断。

题意

给出一个长度为n的序列a[]，问你有多少个区间[l,r]满足a[l] or a[l+1] or … or a[r]>max(a[l],a[l+1],…,a[r])。
n<=200000,a[i]<=10^9

分析

假设我们要处理一个区间[l,r]内有多少满足题目条件的区间，我们可以先找到这个区间的最大值，设为mid。只要我们找到mid左边的第一个数，使得这个数or上a[mid]>a[mid]，设其位置为L，同理找到mid右边的第一个R。那么左右端点均在[L+1,R-1]内的区间均为不满足区间。
然后分治[l,mid-1]和[mid+1,r]两个区间即可。
问题在于如何快速找到L和R。
我们可以对于每一位二进制位开一个数组c，按下标顺序记录所有该二进制位为1的数，同时预处理处对于每个位置，在该数组内最后一个不大于该位置的位置。
那么在找到mid后，我们就可以枚举a[mid]的每个0二进制位，然后找到mid左边和右边第一个该位为1的数即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N=200005;

int n,rmq[N][20],lg[N],a[N],bin[40],c[40][N],low[40][N],tot[40];
LL ans;

int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

void get_rmq()
{
    for (int i=1;i<=n;i++) rmq[i][0]=i;
    for (int j=1;j<=lg[n];j++)
        for (int i=1;i+bin[j]-1<=n;i++)
            rmq[i][j]=a[rmq[i][j-1]]>a[rmq[i+bin[j-1]][j-1]]?rmq[i][j-1]:rmq[i+bin[j-1]][j-1];
}

int get_mx(int l,int r)
{
    int w=lg[r-l+1];
    return a[rmq[l][w]]>a[rmq[r-bin[w]+1][w]]?rmq[l][w]:rmq[r-bin[w]+1][w];
}

void solve(int l,int r)
{
    if (l>r) return;
    int mid=get_mx(l,r),L=l-1,R=r+1;
    for (int i=0;i<=30;i++)
        if (!(a[mid]&bin[i]))
        {
            if (low[i][mid]) L=max(L,c[i][low[i][mid]]);
            if (low[i][mid]<tot[i]) R=min(R,c[i][low[i][mid]+1]);
        }
    ans-=(LL)(mid-L)*(R-mid);
    solve(l,mid-1);solve(mid+1,r);
}

int main()
{
    bin[0]=1;
    for (int i=1;i<=30;i++) bin[i]=bin[i-1]*2;
    n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),lg[i]=log(i)/log(2);
    get_rmq();
    for (int i=0;i<=30;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            if (a[j]&bin[i]) c[i][++tot[i]]=j,low[i][j]=tot[i];
            else low[i][j]=tot[i];
    ans=(LL)n*(n+1)/2;
    solve(1,n);
    printf("%I64d",ans);
    return 0;
}