bzoj 4517: [Sdoi2016]排列计数排列组合+动态规划

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数学

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本文介绍了一个组合数学问题的解决方法，即求解特定条件下长度为n的序列数量，重点在于利用错排方案与组合数计算答案，并通过预处理提高效率。

题意

求有多少种长度为 n 的序列 A，满足以下条件：
1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次
若第 i 个数 A[i] 的值为 i，则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的
满足条件的序列可能很多，序列数对 10^9+7 取模。
T=500000，n≤1000000，m≤1000000

分析

$设f[i]表示i的排列的错排方案，显然f[i]=f[i-1]*(i-1)+f[i-2]*(i-1)$
$那么ans=C_n^m*f[n-m]$
预处理阶乘逆元和f数组即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 1000005
#define MOD 1000000007
#define LL long long
using namespace std;

int f[N],jc[N],ny[N];

int ksm(int x,int y)
{
    int ans=1;
    while (y)
    {
        if (y&1) ans=(LL)ans*x%MOD;
        x=(LL)x*x%MOD;y>>=1;
    }
    return ans;
}

void prework()
{
    jc[0]=ny[0]=1;
    for (int i=1;i<=1000000;i++)
    {
        jc[i]=(LL)jc[i-1]*i%MOD;
        ny[i]=ksm(jc[i],MOD-2);
    }
    f[1]=0;f[2]=1;
    for (int i=3;i<=1000000;i++) f[i]=((LL)f[i-1]*(i-1)%MOD+(LL)f[i-2]*(i-1)%MOD)%MOD;
    f[0]=1;
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    prework();
    while (T--)
    {
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%d\n",(LL)jc[n]*ny[m]%MOD*ny[n-m]%MOD*f[n-m]%MOD);
    }
    return 0;
}