bzoj 4542: [Hnoi2016]大数莫队算法

最新推荐文章于 2022-03-22 22:08:16 发布

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本文介绍了一种高效算法，用于解决在一个大的数字串中查询特定素数倍数子串的数量问题。通过数学推导简化了问题，并采用莫队算法进行优化处理，特别针对10在模2和5下的特殊情况进行了讨论。

题意

有一个很大的数 S，长度达到了 N 位；这个数可以看成是一个串，它可能有前导 0，例如00009312345
。有一个素数P。现在，提出了 M 个询问，每个询问求 S 的一个子串中有多少子串是 P 的倍数（0 也
是P 的倍数）。例如 S为0077时，其子串 007有6个子串：0,0,7,00,07,007；显然0077的子串007有6个子串都是素数7的倍数。
N,M<=100000，P为素数

分析

$显然ans=\sum_{i=l}^r\sum_{j=i}^r{((\sum_{k=i}^js[k]*10^{j-k}) \mod p==0})$

$提一个10^j出来变成\sum_{i=l}^r\sum_{j=i}^r{(10^j*(\sum_{k=i}^js[k]*10^{-k}) \mod p==0})$

$因为10^j mod p必然不为0，所以又可以化简成\sum_{i=l}^r\sum_{j=i}^r{((\sum_{k=i}^js[k]*10^{-k}) \mod p==0})$

$设sum[i]=\sum_{j=1}^is[j]*10^{-j}，10^{-1}为10模p的逆元$

$那么ans=\sum_{i=l}^r\sum_{j=i}^r{((sum[j]-sum[i-1]) \mod p==0})$

$ans=\sum_{i=l}^r\sum_{j=i}^r (sum[j]==sum[i-1])$

直接莫队上即可。

但考虑到10在模2和5下没有逆元，于是这两种情况要特殊处理。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 100005
#define LL long long
using namespace std;

LL n,m,bel[N],block,tot,p,t[N],s[N],a1,a[N],t1[N];
LL ans;
struct query{LL l,r,id,ans;}q[N];
char ch[N];

bool cmp(query a,query b)
{
    return bel[a.l]<bel[b.l]||bel[a.l]==bel[b.l]&&a.r<b.r;
}

bool cmpid(query a,query b)
{
    return a.id<b.id;
}

LL ksm(LL x,LL y)
{
    LL ans=1;
    while (y)
    {
        if (y&1) ans=(LL)ans*x%p;
        x=x*x%p;y>>=1;
    }
    return ans;
}

void updata1(LL d,LL op,LL x,LL l,LL r)
{
    if (!d)
    {
        if (!op) ans-=tot,tot-=s[x];
        else tot+=s[x],ans+=tot;
    }
    else
    {
        if (!op) ans-=s[x]*(r-l+1),tot-=s[x];
        else tot+=s[x],ans+=s[x]*(r-l+2);
    }
}

void solve1()
{
    scanf("%s",ch+1);
    n=strlen(ch+1);block=sqrt(n);
    for (LL i=1;i<=n;i++)
    {
        s[i]=ch[i]-'0';bel[i]=(i+block-1)/block;
        if (p==2&&s[i]%2==0||p==5&&s[i]==5||!s[i]) s[i]=1;
        else s[i]=0;
    }
    scanf("%lld",&m);
    for (LL i=1;i<=m;i++) scanf("%lld%lld",&q[i].l,&q[i].r),q[i].id=i;
    sort(q+1,q+m+1,cmp);
    for (LL i=1,l=1,r=0;i<=m;i++)
    {
        for (;r<q[i].r;r++) updata1(1,1,r+1,l,r);
        for (;l>q[i].l;l--) updata1(0,1,l-1,l,r);
        for (;r>q[i].r;r--) updata1(1,0,r,l,r);
        for (;l<q[i].l;l++) updata1(0,0,l,l,r);
        q[i].ans=ans;
    }
    sort(q+1,q+m+1,cmpid);
    for (LL i=1;i<=m;i++) printf("%lld\n",q[i].ans);
}

void updata2(LL d,LL op,LL x)
{
    if (!op)
    {
        if (d) ans-=t[s[x]],t[s[x-1]]--,t1[s[x]]--;
        else ans-=t1[s[x-1]],t[s[x-1]]--,t1[s[x]]--;
    }
    else
    {
        if (d) t[s[x-1]]++,ans+=t[s[x]],t1[s[x]]++;
        else t[s[x-1]]++,t1[s[x]]++,ans+=t1[s[x-1]];
    }
}

void solve2()
{
    scanf("%s",ch+1);
    n=strlen(ch+1);block=sqrt(n);
    LL ny=ksm(10,p-2),now=1;
    for (LL i=1;i<=n;i++)
    {
        now=(LL)now*ny%p;
        s[i]=(s[i-1]+(LL)(ch[i]-'0')*now%p)%p;
        a[++a1]=s[i];bel[i]=(i+block-1)/block;
    }
    a[++a1]=0;
    sort(a+1,a+a1+1);
    a1=unique(a+1,a+a1+1)-a-1;
    for (LL i=0;i<=n;i++) s[i]=lower_bound(a+1,a+a1+1,s[i])-a;
    scanf("%lld",&m);
    for (LL i=1;i<=m;i++) scanf("%lld%lld",&q[i].l,&q[i].r),q[i].id=i;
    sort(q+1,q+m+1,cmp);
    for (LL i=1,l=1,r=0;i<=m;i++)
    {
        for (;r<q[i].r;r++) updata2(1,1,r+1);
        for (;l>q[i].l;l--) updata2(0,1,l-1);
        for (;r>q[i].r;r--) updata2(1,0,r);
        for (;l<q[i].l;l++) updata2(0,0,l);
        q[i].ans=ans;
    }
    sort(q+1,q+m+1,cmpid);
    for (LL i=1;i<=m;i++) printf("%lld\n",q[i].ans);
}

int main()
{
    scanf("%lld",&p);
    if (p==2||p==5) solve1();
    else solve2();
    return 0;
}