离散时间控制系统(2)

脉冲传递函数

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1.

在连续时间系统中：

$$y(t) = x(t)\ast g(t)\\ =\int_0^\infty g(t-\tau)x(\tau)d\tau\tag{1}$$
传递函数：
$$Y(s)=X(s)G(s)\tag{2}$$
类似的，在离散控制系统中：
$$y(kT)=x(kT)\ast g(kT)$$
可得
$$y(kT)=\sum_{h=0}^{\infty}g(kT-hT)x(hT)\tag{3}$$
则y(t)的$\mathscr Z$变换为
$$Y(z)=\sum_{k=0}^\infty y(kT)z^{-k} =\sum_{k=0}^\infty \sum_{h=0}^{\infty}g(kT-hT)x(hT)z^{-k}\tag{4}$$
令$m=k-h$,由(4)可得
$$Y(z)=\sum_{m=0}^\infty \sum_{h=0}^{\infty}g(mT)x(hT)z^{-(h+m)}\\ =\sum_{m=0}^\infty g(mT)z^{-m}\sum_{h=0}^{\infty}x(hT)z^{-h}\\ =G(z)X(z)\tag 5$$
函数G(Z)就是系统的脉冲传递函数。

上述等式，把

$$z=e^{Ts}$$ 代入，得到的就是$y^*(t)$的拉普拉斯变换，所以可得到
$$Y^*(s)=X^*(s)G^*(s)$$