GainDaily03/3,19

最新推荐文章于 2023-05-27 16:33:59 发布

Palace_w

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分类专栏：学习笔记 massive MIMO

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本文探讨了DFT矩阵与Steering Vector之间的对应关系，详细分析了正弦和余弦角度下Steering Vector的变化规律及DFT矩阵如何刻画mmWave信道的角度域稀疏性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

DFT 矩阵与steering vector的对应关系

在这里插入图片描述
steering vector:

$sin⁡θ\sin \theta$
$a(θ)=[1,ej2πdsin⁡θλ,⋯ ,ej2π(N−1)dsin⁡θλ]Ta(\theta) = [1, e^{\frac{j2\pi d \sin \theta }{\lambda}},\cdots,e^{\frac{j2\pi(N-1)d \sin \theta }{\lambda}}]^T$
–> $d=λ/2d=\lambda/2$ —> $e−j2π(i−1)N+j2kπ=ej2πdsin⁡θλ=ejπsin⁡θe^{-\frac{j2\pi (i-1)}{N}+j2k\pi} = e^{\frac{j2\pi d \sin \theta }{\lambda}}=e^{{j\pi \sin \theta }}$ ----> $−2(i−1)N+2k=sin⁡θ,i=1,2,...,N，k=0,±1,±2...,-\frac{2(i-1)}{N}+2k= \sin \theta,i = 1,2,...,N，k=0,\pm1,\pm2 ...,$

当 $i = N / 2 + 1$ 时， $sin⁡θ=−1\sin \theta = -1$
所以 $i$ 从1到 $i = N / 2 + 1$ 时，角度变化从0到 $−π/2-\pi/2$ 到 $0$ ,
从 $i = N / 2 + 2$ 到N时， $k = 1$ ,角度从 $−π/2-\pi/2$ 到 $0$ , 所以中间有 $π\pi$ 的跳变
2. $cos⁡θ\cos \theta$
$a(θ)=[1,ej2πdcos⁡θλ,⋯ ,ej2π(N−1)dcos⁡θλ]Ta(\theta) = [1, e^{\frac{j2\pi d \cos \theta }{\lambda}},\cdots,e^{\frac{j2\pi(N-1)d \cos \theta }{\lambda}}]^T$
–> $d=λ/2d=\lambda/2$ —> $e−j2π(i−1)N+j2kπ=ej2πdcos⁡θλ=ejπcos⁡θe^{-\frac{j2\pi (i-1)}{N}+j2k\pi} = e^{\frac{j2\pi d \cos \theta }{\lambda}}=e^{{j\pi \cos \theta }}$ ----> $−2(i−1)N+2k=cos⁡θ,i=1,2,...,N，k=0,±1,±2...,-\frac{2(i-1)}{N}+2k= \cos\theta,i = 1,2,...,N，k=0,\pm1,\pm2 ...,$
当 $i = N / 2 + 1$ 时， $cos⁡θ=−1\cos \theta = -1$
所以 $i$ 从1到 $i = N / 2 + 1$ 时，角度变化从 $π\pi$ 到 $π/2\pi/2$
从 $i = N / 2 + 2$ 到N时， $k = 1$ ,值从1到0，角度从 $0$ 到 $π/2\pi/2$ , 所以中间有 $π/2\pi/2$ 的跳变

在这里插入图片描述

Conclusion

DFT 矩阵每一列对应steering vector的某一方向，因此使用DFT矩阵来刻画mmwave信道角度域的稀疏性的时候，相当于给AoA和AoD域划分了格点，并且这个划分的 AoA\AoD 按弧度（ $sin⁡θ\sin \theta$ 的 $θ\theta$ 并不是均匀的，是按值域均匀划分的。

~~（Note: 许多东西不要想当然，要自己去推，主要是要练手）