20190417

日常推不出公式

$$\begin{gathered} \arg \max {x\text{x}x}^T{P\text{P}P}^{T}P\text{P}Px\text{x}x, \\ s.t.||x\text{x}x|{|}_2^2=1 \\ {P\text{P}P}^T=P\text{P}P \end{gathered}$$
$$\arg \max {x\text{x}x}^{T}U\text{U}U{\Lambda \text{Λ}\Lambda }^2{U\text{U}U}^{T}P\text{P}Px\text{x}x,s.t.||x\text{x}x|{|}_2^2=1$$
$$L={x\text{x}x}^{T}U\text{U}U{\Lambda \text{Λ}\Lambda }^2{U\text{U}U}^{T}P\text{P}Px\text{x}x-\lambda x\text{x}x$$
求导得到
$$U\text{U}U{\Lambda \text{Λ}\Lambda }^2{U\text{U}U}^{T}x\text{x}x=\lambda x\text{x}x$$
所以最优解$x\text{x}x$是$P\text{P}P$的最大特征值对应的特征向量

这是一个非常简单的问题，开始我一直都没想明白，$x\text{x}x$ 应该是${P\text{P}P}^{T}P\text{P}P$的特征向量，怎么推出$x\text{x}x$是$P\text{P}P$的的特征向量
反推是容易的，写下正推
${P\text{P}P}^{T}P\text{P}P$的特征向量 与$P\text{P}P$的特征向量相同，都在$U\text{U}U$里面
$$U\text{U}U{\Lambda \text{Λ}\Lambda }^2{U\text{U}U}^{T}x\text{x}x=\lambda x\text{x}x$$
Over
(写了一天bug，发现自己习惯性逃避，不愿意去直面，尤其是晚上在看《少有人走的路》）