两整数之和

不使用运算符 + 和 - ​​​​​​​，计算两整数 ​​​​​​​a 、b ​​​​​​​之和。

示例 :

输入: a = 1, b = 2
输出: 3
示例 2:

输入: a = -2, b = 3
输出: 1

代码：

class Solution {
public:
    int getSum(int a, int b) {
        if (b == 0) return a;
        int sum = a ^ b;
        int carry = (a & b) << 1;
        return getSum(sum, carry);
    }
};

解释

• 原码、反码和补码：以8位的int类型为例。

  • 正数：前面一位为符号位是0，原码、反码和补码一样。比如，8=00001000
  • 负数：前面一位是1，比如，-8=10001000
    
    • 反码：保持符号位是1不变。后面位取反，11110111
    • 补码：在反码的基础上，加1，11110111+00000001=11111000

• 计算机中保存的是补码。

  • ’8’位的int非负数：00000000~01111111是0到127。
  • 负数是1********也可以是128个数。对于-1~-127，它们的补码是唯一且不同的。
    
    • -1保存的是10000001->11111110->11111111，
    • -127保存的是11111111->10000000->10000001。
    • 对于10000000，它被当作-128的补码。因为-127~-1的补码是10000001~11111111，剩下一个10000000。注意-128只有8位的补码、

• 通过位操作验证

    cout << "size of int: " << sizeof(a) << "bytes" << endl;
    cout << "maximum value: " << INT_MAX  << ",  minimum value: "<< INT_MIN << endl;
    cout << "~INT_MIN: " << ~INT_MIN << endl;
    cout << "INT_MAX + 1: " << INT_MAX + 1;

结果是：

size of int: 4bytes
maximum value: 2147483647,  minimum value: -2147483648
~INT_MIN: 2147483647  
// ~10000000 00000000 00000000 = 01111111 11111111 11111111 = 正数 INT_MAX

INT_MAX + 1: -2147483648     //溢出的情况
// 01111111 11111111 11111111 + 00000000 00000000 00000001 
// = 1000000 00000000 00000000 = 负数 INT_MIN

算法

• 通过上例看出，int保存的是补码，计算机自己实现补码到原码的映射
• 补码的和是和的补码
• 因为计算机中保存的是补码，我们需要将补码相加即可。通过位运算实现

做加法运算的时候，每位相加之后可能会有进位Carry产生，然后在下一位计算时需要加上进位一起运算，那么我们能不能将两部分拆开呢，我们来看一个例子759+674

1. 如果我们不考虑进位，可以得到323

2. 如果我们只考虑进位，可以得到1110

3. 我们把上面两个数字假期323+1110=1433就是最终结果了

然后我们进一步分析，如果得到上面的第一第二种情况，我们在二进制下来看，不考虑进位的加，0+0=0， 0+1=1, 1+0=1， 1+1=0，这就是异或的运算规则，如果只考虑进位的加0+0=0, 0+1=0, 1+0=0, 1+1=1，而这其实这就是与的运算，而第三步在将两者相加时，我们再递归调用这个算法，终止条件是当进位为0时，我们直接返回第一步的结果