2D射影几何和变换

• 线的点表示：$x、y$是线上点的平面坐标，则线上点可表示为$x+\alpha y$
• 非满秩矩阵$C$所定义的二次曲线称作退化二次曲线，其上点包含两条线或者一条重线。$C=lm^T+ml^T$是两条线$l、m$。$C^*=xy^T+yx^T$由过点$x或y$的所有直线组成
• 对偶二次曲线：$C$的切线$l$，满足$l^TC^*l=0$。 $$l=Cx, x=C^{-1}l, (C^{-1}l)^TC(C^{-1}l)=l^TC^{-1}l, \ ∴ C^*=C^{-1}$$
• 映射变换是保线变换，可用$3×3$的非奇异矩阵$H$表示，$h(x)=Hx$
• 直线和二次曲线的变换：$l'=H^{-T}l, \ C'=H^{-T}CH^{-1}, \ C^*{'}=HC^*H^T$
• 变换的层次：等距变换、相似变换、放射变换。变换中存在不变量，比如相似变换中长度比率不变
• 1D射影几何：点$(x_1,\ x_2)$，交比不变
  $$Cross(x_1,x_2,x_3,x_4)=\frac {|x_1x_2||x_3x_4|}{|x_1x_3||x_2x_4|}, \ |x_ix_j|=det\begin{bmatrix} x_{i1} & x_{j1} \\ x_{i2} & x_{j2} \end{bmatrix}$$
• $l_∞=(0,0,1)$是不动直线 $\iff$ $H$是仿射变换
• 虚原点：$I=(1,i,0)^T, \ J=(1,-i, 0)^T$在相似变换下保持不变
• 虚原点$I,J$为不动点$\iff H$是相似变换

• 与虚原点对偶的二次曲线：$C_∞^* = IJ^T+JI^T= \begin{bmatrix} 1 & 0 &0\\ 0 & 1&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}$

• 对偶二次曲线$C_∞^*$不变$\iff H$是相似变换

• 直线夹角：$cos\theta = \frac {l^TC_∞^*m}{\sqrt {(l^TC_∞^*l)(m^TC_∞^*m)}}$

  $$l^TC_∞^*m \mapsto l^TH^{-1}HC_∞^*H^TH^{-T}m=l^TC_∞^*m$$
• $C_∞^*{'}$被辨认，则欧式角可以确定
• 如果$l^TC_∞^*m=0$，则$l$和$m$正交
• 极点-极线：点x关于二次曲线C的极线$l=Cx$与C交于两点。C的过这两点的两条切线相交于x
  
• 如果x在y的极线上，那么y也在x的极线上

应用

• 由图像恢复仿射性质：找到实际世界的2个无穷远点，可以通过平行直线相交确定。然后就可以确定无穷远直线的像的方程。通过射影变换，把无穷远线的像映射为$(0,0,1)^T$
  

• 度量矫正（恢复到相似变换）：通过5对垂直线，确定$C_∞^*=U \begin{bmatrix} 1 & 0 &0\\ 0 & 1&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} U^T$