射影几何

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1.齐次向量

首先看平面几何中的点线，初中我们就知道点在平面中的表示方法，用(x, y)就行了，而直线可以用方程ax+by+c=0表示，当然我们也学过它的另一种表示方法y=kx+b，这样就少了一个变量，我们暂用前一种表示方式，把它们换成列向量来表示，点  ，线  。

这里线的表示  ，如果我们将它乘上一个缩放因子R，它还是会表示同一条直线，像这样表示的向量就称为齐次向量，如果我们用 表示直线就不能算齐次表示了。

我们这里的点 并不是齐次向量，但我们只要将它加上一个维度变为就变为齐次向量了，如齐次表示的点  如果换成 平面中的点就是 。

• 一些结论（可自证，注下面均由齐次表示）

1. 点在直线上的充要条件是 ：
2. 两直线l, l'的交点是点 ：
3. 过两点x和x'的直线是 ：

补充：叉积

向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛，通常应用于物理学光学和计算机图形学中。

（1）模长和方向

模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角（共起点的前提下）（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。）

方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。

（2）坐标运算

a×b=（-）i+（-）j+（-）k，为了帮助记忆，利用三阶行列式，写成det

，则叉积为：。

2.理想点和无穷远线

射影几何中的一大基本假设就是两平行线相交于无穷远点，考虑两直线x=1和x=2，将他们齐次表示为 ，。由结论2算它们的交点：

这表示y轴方向上的无穷远点，像这样的最后坐标为0的点就成为理性点，或无穷远点，其可以写成集合形式 ，由结论1我们可以验证 ，这个就是无穷远线，记作 ，基于理想点和无穷远线的定义，我们可以把理想点看作直线的方向，而无穷远线就是所有方向的集合。

 

未写完.......