［洛谷 2822］组合数问题---二项式定理+前缀和

最新推荐文章于 2025-07-22 12:22:38 发布

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本文探讨了如何计算给定n、m和k时，满足条件C_ij是k的倍数的(i, j)对的数量。通过使用杨辉三角及前缀和优化，实现了高效的求解。

题目描述

组合数 $C_n^m$ 表示的是从 $n$ 个物品中选出 $m$ 个物品的方案数。举个例子，从（1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有(1,2),(1,3),(2,3)这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数的一般公式：

C m n = n ! m ! ( n - m ) !

$C_n^m=\frac{n!}{m!(n - m)!}$

其中 $n! = 1 × 2 × · · · × n$

小葱想知道如果给定n,m和k，对于所有的 $0 <= i <= n，0 <= j <= min(i,m)$ 有多少对 (i,j)满足 $C_i^j$ 是的倍数。
输入输出格式
输入格式：

第一行有两个整数t,k，其中t代表该测试点总共有多少组测试数据，k的意义见【问题描述】。

接下来t行每行两个整数n,m，其中n,m的意义见【问题描述】。

输出格式：

t行，每行一个整数代表答案。

输入输出样例
输入样例#1：

1 2
3 3

输出样例#1：

输入样例#2：

2 5
4 5
6 7

输出样例#2：

0
7

分析

　　~~作为去年没做出来的题，不想多说什么．．．~~
　　直接杨辉三角即可，再加入一点优化：
　　　　1.直接％k,当f[i][j]为0时，ans++
　　　　2.利用前缀和，优化答案统计

代码

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#define open(s) freopen(s".in","r",stdin); freopen(s".out","w",stdout);
#define close fclose(stdin); fclose(stdout); 
using namespace std;

int mo;
int f[2005][2005];
int s[2005][2005];

inline int read()
{
    int k=1;
    int sum=0;
    char c=getchar();
    for(;'0'>c || c>'9' ;c=getchar())
        if(c=='-') k=-1;
    for(;'0'<=c && c<='9';c=getchar())
        sum=sum*10+c-'0';
    return sum*k;
}

inline void write(int x)
{
    if(x<0) { putchar('-'); x*=-1; }
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}

inline void get_f()
{
    for(int i=0;i<=2000;++i)
    for(int j=0;j<=i;++j)
    {
        if(i==j || !j)
            f[i][j]=1;
        else
            f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j];
        if(f[i][j]>=mo) f[i][j]-=mo;
        if(!f[i][j]) s[i][j]=1;
        s[i][j]+=(j?s[i][j-1]:0);
    }
}

int main()
{
    open("2822");
    int T=read();
    mo=read();
    get_f();
    for(int x,y,ans;T;--T)
    {
        x=read();
        y=read();
        ans=0;
        for(int i=0;i<=x;++i)//其实前缀和还可以再优化变为Ｏ(1)
            ans+=s[i][i<y?i:y];
        write(ans);
        putchar('\n');
    }
    close;
    return 0;
}