永磁同步电机模型第三篇之两相电机坐标变换

于 2025-03-21 21:54:55 发布
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分类专栏： 运动控制 文章标签： 永磁同步电机 旋转坐标系 建模
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前言

本文主要介绍两相永磁电机模型的坐标变化极其推导过程。本文主要参考资料：

R.Krishnan.永磁无刷电机及其驱动技术.机械工程出版社

根据上一篇博客<永磁同步电机模型第二篇之两相电机实时模型>，可以得到如下两相永磁同步电机的在静止坐标系下的模型：

电压方程为：
[ V a V b ] = [ R 0 0 R ] [ i a i b ] + d d t [ λ a λ b ] \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 V_a\\ %第一行元素 V_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 R&0\\ %第一行元素 0&R\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\ %第一行元素 i_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+ \frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix} [Va​Vb​​]=[R0​0R​][ia​ib​​]+dtd​[λa​λb​​]

磁链方程为：
[ λ a λ b ] = [ L a L m L m L b ] [ i a i b ] + λ f [ cos θ sin θ ] = [ L 1 − L 2 cos 2 θ − L 2 sin 2 θ − L 2 sin 2 θ L 1 + L 2 cos 2 θ ] [ i a i b ] + λ f [ cos θ sin θ ] \begin{aligned} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 L_{a}&L_{m}\\ %第一行元素 L_{m}&L_{b}\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\ %第一行元素 i_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+ \lambda_f \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup {cos} \theta\\ %第一行元素 \textup {sin} \theta\\ %第二行元素 \end{bmatrix}\\& = \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 L_1-L_2\textup {cos} 2\theta&-L_2\textup {sin} 2\theta\\ %第一行元素 -L_2\textup {sin} 2\theta& L_1+L_2\textup {cos} 2\theta\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\ %第一行元素 i_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+ \lambda_f \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup {cos} \theta\\ %第一行元素 \textup {sin} \theta\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \end{aligned} [λa​λb​​]​=[La​Lm​​Lm​Lb​​][ia​ib​​]+λf​[cosθsinθ​]=[L1​−L2​cos2θ−L2​sin2θ​−L2​sin2θL1​+L2​cos2θ​][ia​ib​​]+λf​[cosθsinθ​]​

可以知道，磁链方程中的参数依赖转子的位置，尽管目前计算能力越来越强大，但是求解上述方程依然相当繁琐，而且从上述方程中也无法洞悉到电机的动态性能。这篇博客任务就是，通过变换，消除方程中对转子位置的依赖。

可以借助博客<永磁同步电机模型第一篇之坐标变换>中的2s/2r变换。
在这里插入图片描述

磁链方程

首先可以得到：
[ λ d λ q ] = [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ λ a λ b ] \begin{aligned} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_d\\ %第一行元素 \lambda_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \end{aligned} [λd​λq​​]​=[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][λa​λb​​]​
以及：
[ i a i b ] = [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] − 1 [ i d i q ] = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ i d i q ] \begin{aligned} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\ %第一行元素 i_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_d\\ %第一行元素 i_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &-\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 \textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_d\\ %第一行元素 i_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \end{aligned} [ia​ib​​]​=[cosθ−sinθ​sinθcosθ​]−1[id​iq​​]=[cosθsinθ​−sinθcosθ​][id​iq​​]​
综上，可以推知：
[ λ d λ q ] = [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] ( [ L 1 − L 2 cos 2 θ − L 2 sin 2 θ − L 2 sin 2 θ L 1 + L 2 cos 2 θ ] [ i a i b ] + λ f [ cos θ sin θ ] ) = [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ L 1 − L 2 cos 2 θ − L 2 sin 2 θ − L 2 sin 2 θ L 1 + L 2 cos 2 θ ] [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ i d i q ] + λ f [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ cos θ sin θ ] \begin{aligned} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_d\\ %第一行元素 \lambda_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix}& = \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 L_1-L_2\textup {cos} 2\theta&-L_2\textup {sin} 2\theta\\ %第一行元素 -L_2\textup {sin} 2\theta& L_1+L_2\textup {cos} 2\theta\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\ %第一行元素 i_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+ \lambda_f \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup {cos} \theta\\ %第一行元素 \textup {sin} \theta\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \right)\\&= \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 L_1-L_2\textup {cos} 2\theta&-L_2\textup {sin} 2\theta\\ %第一行元素 -L_2\textup {sin} 2\theta& L_1+L_2\textup {cos} 2\theta\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &-\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 \textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_d\\ %第一行元素 i_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+ \lambda_f \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup {cos} \theta\\ %第一行元素 \textup {sin} \theta\\ %第二行元素 \end{bmatrix}\\ \end{aligned} [λd​λq​​]​=[cosθ−sinθ​sinθcosθ​]([L1​−L2​cos2θ−L2​sin2θ​−L2​sin2θL1​+L2​cos2θ​][ia​ib​​]+λf​[cosθsinθ​])=[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][L1​−L2​cos2θ−L2​sin2θ​−L2​sin2θL1​+L2​cos2θ​][cosθsinθ​−sinθcosθ​][id​iq​​]+λf​[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][cosθsinθ​]​

分开计算，后半部分：

λ f [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ cos θ sin θ ] = λ f [ cos 2 θ + sin 2 θ − sin θ cos θ + cos θ sin θ ] = [ λ f 0 ] \begin{aligned} &\lambda_f \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup {cos} \theta\\ %第一行元素 \textup {sin} \theta\\ %第二行元素 \end{bmatrix}\\ =&\lambda_f \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos}^2 \theta +\textup{sin}^2 \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta \textup{cos}\theta+\textup{cos}\theta \textup{sin} \theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix}\\=& \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_f\\ %第一行元素 0\\ %第二行元素 \end{bmatrix}\\ \end{aligned} ==​λf​[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][cosθsinθ​]λf​[cos2θ+sin2θ−sinθcosθ+cosθsinθ​][λf​0​]​
前半部分：
[ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ L 1 − L 2 cos 2 θ − L 2 sin 2 θ − L 2 sin 2 θ L 1 + L 2 cos 2 θ ] [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ i d i q ] = [ L 1 cos θ − L 2 cos θ cos 2 θ − L 2 sin 2 θ sin θ L 1 sin θ − L 2 cos θ sin 2 θ + L 2 sin θ cos 2 θ L 2 sin θ cos 2 θ − L 2 sin 2 θ cos θ − L 1 sin θ L 2 sin 2 θ sin θ + L 1 cos θ + L 2 cos θ cos 2 θ ] [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ i d i q ] = [ ( L 1 − L 2 ) cos θ ( L 1 − L 2 ) sin θ − ( L 1 + L 2 ) sin θ ( L 1 + L 2 ) cos θ ] [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ i d i q ] = [ ( L d ) cos θ ( L d ) sin θ − ( L q ) sin θ ( L q ) cos θ ] [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ i d i q ] = [ L d 0 0 L q ] [ i d i q ] \begin{aligned} &\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 L_1-L_2\textup {cos} 2\theta&-L_2\textup {sin} 2\theta\\ %第一行元素 -L_2\textup {sin} 2\theta& L_1+L_2\textup {cos} 2\theta\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &-\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 \textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_d\\ %第一行元素 i_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix}\\ =& \begin{bmatrix} L_1\textup {cos} \theta-L_2\textup {cos} \theta \textup {cos} 2\theta -L_2\textup {sin} 2\theta\textup {sin} \theta& L_1\textup {sin} \theta-L_2\textup {cos} \theta\textup {sin} 2\theta+L_2\textup {sin} \theta\textup {cos} 2\theta\\ L_2\textup {sin} \theta\textup {cos} 2\theta -L_2\textup {sin} 2\theta\textup {cos} \theta -L_1\textup {sin} \theta&L_2\textup {sin} 2\theta\textup {sin} \theta+ L_1\textup {cos} \theta+L_2\textup {cos} \theta\textup {cos} 2\theta\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \textup{cos} \theta &-\textup{sin} \theta \\ \textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_d\\ i_q\\ \end{bmatrix}\\=& \begin{bmatrix} (L_1-L_2)\textup {cos} \theta&(L_1-L_2)\textup {sin} \theta\\ -(L_1+L_2)\textup {sin} \theta&(L_1+L_2)\textup {cos} \theta\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \textup{cos} \theta &-\textup{sin} \theta \\ \textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_d\\ i_q\\ \end{bmatrix}\\=& \begin{bmatrix} (L_d)\textup {cos} \theta&(L_d)\textup {sin} \theta\\ -(L_q)\textup {sin} \theta&(L_q)\textup {cos} \theta\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \textup{cos} \theta &-\textup{sin} \theta \\ \textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_d\\ i_q\\ \end{bmatrix}\\=& \begin{bmatrix} L_d&0\\ 0&L_q\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_d\\ i_q\\ \end{bmatrix}\\ \end{aligned} ====​[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][L1​−L2​cos2θ−L2​sin2θ​−L2​sin2θL1​+L2​cos2θ​][cosθsinθ​−sinθcosθ​][id​iq​​][L1​cosθ−L2​cosθcos2θ−L2​sin2θsinθL2​sinθcos2θ−L2​sin2θcosθ−L1​sinθ​L1​sinθ−L2​cosθsin2θ+L2​sinθcos2θL2​sin2θsinθ+L1​cosθ+L2​cosθcos2θ​][cosθsinθ​−sinθcosθ​][id​iq​​][(L1​−L2​)cosθ−(L1​+L2​)sinθ​(L1​−L2​)sinθ(L1​+L2​)cosθ​][cosθsinθ​−sinθcosθ​][id​iq​​][(Ld​)cosθ−(Lq​)sinθ​(Ld​)sinθ(Lq​)cosθ​][cosθsinθ​−sinθcosθ​][id​iq​​][Ld​0​0Lq​​][id​iq​​]​
综上：
[ λ d λ q ] = [ L d 0 0 L q ] [ i d i q ] + [ λ f 0 ] \begin{aligned} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_d\\ %第一行元素 \lambda_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} L_d&0\\ 0&L_q\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_d\\ i_q\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_f\\ %第一行元素 0\\ %第二行元素 \end{bmatrix}\\ \end{aligned} [λd​λq​​]​=[Ld​0​0Lq​​][id​iq​​]+[λf​0​]​

即：
λ d = L d i d + λ f λ q = L q i q \begin{aligned} \lambda_d&=L_di_d+ \lambda_f\\ \lambda_q&=L_qi_q \end{aligned} λd​λq​​=Ld​id​+λf​=Lq​iq​​

电压方程

[ V d V q ] = [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ V a V b ] = [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ R 0 0 R ] [ i a i b ] + [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] d d t [ λ a λ b ] = [ R 0 0 R ] [ i d i q ] + [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] d d t [ λ a λ b ]   \begin{aligned} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 V_d\\ %第一行元素 V_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 V_a\\ %第一行元素 V_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}\\&= \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 R&0\\ %第一行元素 0&R\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\ %第一行元素 i_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}\\&= \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 R&0\\ %第一行元素 0&R\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_d\\ %第一行元素 i_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}\ \end{aligned} [Vd​Vq​​]​=[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][Va​Vb​​]=[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][R0​0R​][ia​ib​​]+[cosθ−sinθ​sinθcosθ​]dtd​[λa​λb​​]=[R0​0R​][id​iq​​]+[cosθ−sinθ​sinθcosθ​]dtd​[λa​λb​​] ​
又因为：
[ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] d d t [ λ a λ b ] + d d t [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ λ a λ b ] = d d t ( [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ λ a λ b ] ) \begin{aligned} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+ \frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}= \frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \left( \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \right) \end{aligned} [cosθ−sinθ​sinθcosθ​]dtd​[λa​λb​​]+dtd​[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][λa​λb​​]=dtd​([cosθ−sinθ​sinθcosθ​][λa​λb​​])​
所以：
[ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] d d t [ λ a λ b ] = d d t ( [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ λ a λ b ] ) − d d t [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ λ a λ b ] = d d t [ λ d λ q ] − w [ − sin θ cos θ − cos θ − sin θ ] [ λ a λ b ] = d d t [ λ d λ q ] + w [ − λ q λ d ] \begin{aligned} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}&= \frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \left( \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \right)- \frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}\\ &= \frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_d\\ %第一行元素 \lambda_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix}-w \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 -\textup{sin} \theta &\textup{cos} \theta \\ %第一行元素 -\textup{cos} \theta& -\textup{sin}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}\\ &=\frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_d\\ %第一行元素 \lambda_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+w \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 -\lambda_q\\ %第一行元素 \lambda_d\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \end{aligned} [cosθ−sinθ​sinθcosθ​]dtd​[λa​λb​​]​=dtd​([cosθ−sinθ​sinθcosθ​][λa​λb​​])−dtd​[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][λa​λb​​]=dtd​[λd​λq​​]−w[−sinθ−cosθ​cosθ−sinθ​][λa​λb​​]=dtd​[λd​λq​​]+w[−λq​λd​​]​

其中
w = d θ d t w= \frac{\textup {d}\theta}{\textup {d} t} w=dtdθ​

综上：
[ V d V q ] = [ R 0 0 R ] [ i d i q ] + d d t [ λ d λ q ] + w [ − λ q λ d ] \begin{aligned} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 V_d\\ %第一行元素 V_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 R&0\\ %第一行元素 0&R\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_d\\ %第一行元素 i_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+ \frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_d\\ %第一行元素 \lambda_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+w \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 -\lambda_q\\ %第一行元素 \lambda_d\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \end{aligned} [Vd​Vq​​]​=[R0​0R​][id​iq​​]+dtd​[λd​λq​​]+w[−λq​λd​​]​

即：
V d = R i d + d λ d d t − w λ q V q = R i q + d λ q d t + w λ d \begin{aligned} V_d&=Ri_d+ \frac{\textup {d} \lambda_d}{\textup {d} t}-w \lambda_q\\ V_q&=Ri_q +\frac{\textup {d} \lambda_q}{\textup {d} t}+w \lambda_d \end{aligned} Vd​Vq​​=Rid​+dtdλd​​−wλq​=Riq​+dtdλq​​+wλd​​

结论

经过坐标变换之后，在dq坐标系中，永磁同步电机的电压方程为：
V d = R i d + d λ d d t − w λ q V q = R i q + d λ q d t + w λ d \begin{aligned} V_d&=Ri_d+ \frac{\textup {d} \lambda_d}{\textup {d} t}-w \lambda_q\\ V_q&=Ri_q +\frac{\textup {d} \lambda_q}{\textup {d} t}+w \lambda_d \end{aligned} Vd​Vq​​=Rid​+dtdλd​​−wλq​=Riq​+dtdλq​​+wλd​​

磁链方程为：
λ d = L d i d + λ f λ q = L q i q \begin{aligned} \lambda_d&=L_di_d+ \lambda_f\\ \lambda_q&=L_qi_q \end{aligned} λd​λq​​=Ld​id​+λf​=Lq​iq​​

在dq坐标系中，电压矢量不在依赖转子位置，而与转子的速度有关，因此，仅当速度恒定时，系统方程为线性方程。在转子速度发生变化的情况下，如果速度变化是由于电流变化引起的，那么，此时的系统方程为非线性的。

三相永磁同步电机之三：动态模型
csdnpzh的博客
10-01 1343
永磁同步电机调速驱动通过变换器供电，由于收到开关功率等级以及滤波器尺寸等因素的限制，供电方式只能是有限电源，缺乏提供瞬态大功率的能力。因此需要评价变换器供电的调速驱动器的动态性能以确定开关器件等级及适用于给定电机的变换器，最终由变换器和电机的相互作用来确定系统电流。其中使用的动态模型常用于评价当电压/电流、定子频率发生变化及转矩产生扰动时对系统产生的瞬时影响。永磁同步电机的动态模型可由绕组位于dq轴的两相电机。
永磁同步电机三相等效电路图_永磁同步电机的动态模型
weixin_42400970的博客
12-13 2263
本文参考《永磁无刷电机及其驱动技术》的第三章永磁同步电机的动态模型，摘抄的目的在于可以时常翻一翻。3.1 两相永磁同步电机的实时模型推导永磁同步电机动态模型时基于以下假设：（1）定子绕组加以对称正弦分布的磁动势；（2）电感随转子位置正弦变化；（3）饱和及参数变化忽略不计。永磁体置于转子上，定子绕组在空间以相差90度电角度排布，转子轴线（转子绕组）与定子直轴相差角度 ，并且假设交轴沿着转子旋转的逆...
永磁同步电机模型第一篇之坐标变换
我想想的博客
05-17 3563
文章目录前言旋转磁场clark变换和park变换永磁同步电机模型变换 前言 本文主要介绍永磁电机模型的坐标变化极其推导过程。本文主要参考资料： 哈肯.工业运动控制——电机选择、驱动器和控制器应用.机械工业出版社 永磁同步电机常见形式状态方程推导 传送门 陈伯时.自动控制系统——电力拖动控制.中央广播电视大学出版社 付兴贺，陈　锐.电机中AＢＣ 到ｄｑ０ 坐标变换的梳理与辨析 旋转磁场 可以将电机定子模型简化为下图： clark变换和park变换 永磁同步电机模型变换 ...
永磁同步电机矢量控制（一）——数学模型
sy243772901的博客
05-17 12万+
导师研究的课题是永磁同步电机的控制，首先给我安排的任务就是将其矢量控制系统仿真搭建出来。本文记录矢量控制系统学习过程。因为是初学我的理解可能不够，其中每个内容的出处都会在文章内标注出来，大家可以参考原文原著。 1、永磁同步电机的数学模型 （参考于解小刚、陈进采用Id=0永磁同步电机矢量控制文章） 永磁同步电机是一个非线性系统，具有多变量、强耦合的特点。我们对其分析的时候有以下假设： ..................
永磁同步电机矢量控制（三）——电流环转速环 PI 参数整定
热门推荐
sy243772901的博客
05-17 15万+
3 PI控制器参数整定 3.1从PMSM电机的数学模型出发。 dq 轴 电压方程： dq 轴 轴磁链方程： dq 轴 转矩方程： dq 轴 运动方程： 分析上述方程，如果我们能够控制 id=0 那么电压方程就可简化为： 转矩方程为： 运动方程为： 以上式中：ψf 是永磁体...............
永磁同步电机矢量控制到无速度传感器控制学习教程（PMSM）（一）
sy243772901的博客
07-12 8万+
一个阶段的学习结束了，整理了之前的过程中的学习成果，已经过了工作的年纪，在这里稍微出一下自己做的一套永磁同步电机的教程，从基础的矢量控制，到应用性较强的MTPA、弱磁控制等，最后深入到无速度传感器的控制，搜集了三种无速度的方法，足够大家从基础到深入整个过程的学习。 第一部分：从双闭环矢量到无速度传感器控制教程 总的来说，仿真的分为两类， 第一类，id=0矢量控制，基于矢量控制的MTPA，.....................
永磁同步电机模型推导（静止坐标系+旋转坐标系）
日照金山定乾坤
02-13 7295
参考文献 电机传动系统控制-薛承基 交流电机动态分析-汤蕴缪 1. 静止坐标系建模 V⃗abc=Rsi⃗abc+ddtψ⃗abc \vec{V}_{abc}=R_s\vec{i}_{abc}+\frac{d}{dt}\vec{\psi}_{abc} Vabc​=Rs​iabc​+dtd​ψ​abc​ 其中： V⃗abc=[VaVbVc]Ti⃗abc=[iaibic]Tψ⃗abc=[ψaψbψc]T\vec{V}_{abc}=\left[ \begin{matrix} V_a& V_b&amp
005永磁同步电机的数学模型：写了很久，非常适合零基础的同学学习参考
贾松的博客
12-04 2万+
同步电机数学模型是描述同步电机电枢绕组与磁极、电压、电流、磁势、磁链等电磁量与转矩和转速等机械量之间随时间和空间位置变化的相互关系的方程。建立一个合适的模型是实现精准控制的基础；
【永磁同步电机（PMSM）】 3. 基于Matlab 的仿真与控制
youcans的博客
09-21 4347
本文介绍基于Matlab的电机系统仿真与控制，开发复杂的控制算法（如磁场定向控制），以及分析系统配置和性能。
Chap1_frmae0_永磁同步电机_
10-01
标题中的"Chap1_frmae0_永磁同步电机_"指的是一个关于永磁同步电机（Permanent Magnet Synchronous Motor, 简称PMSM）的章节或教程，可能是一个系列学习资料的第一部分，其中“frmae0”可能是表示某种特定的坐标框架...
永磁同步电机弱磁控制建模仿真
2401_89308151的博客
12-10 896
1 绪论====20世纪末，随着永磁同步电机在各个领域绽放光彩，永磁同步电机控制策略也得到了快速的发展。最开始是MTPA控制策略在永磁同步电机的恒转矩调速区的成功实现，这种方法大大的降低了电机和逆变器的损耗。而随着永磁同步电机在新能源汽车领域得到广泛应用后，人们对永磁同步电机控制策略的性能要求不断提高，需要支持电动汽车在不同环境下实现稳定高效的运行。于是对永磁同步单机的弱磁控制策略应运而生，并促使了永磁同步电机弱磁控制理论的不断发展和成熟。
永磁同步电机控制系统建模与仿真
weixin_43015338的博客
06-07 1317
永磁同步电机因其具备高功率密度、高功率因素、高效率等诸多优点，使其在许多工业领域得到广泛应用。永磁同步电机的控制是永磁同步电机应用的关键技术。永磁同步电机控制系统是一个复杂的非线性的时变系统。要设计出高性能的永磁同步电机控制器，对电机控制系统进行建模与仿真是很有必要的。在永磁同步电机控制器开发的过程中，首先采用matlab/simulink对控制方案进行仿真验证，可大大缩短开发周期。常用永磁同步电机控制方法主要为两种：矢量控制和直接转矩控制。其中矢量控制由于其控制性能优良，所以应用最为普遍。
现代永磁同步电机控制原理及matlab仿真_基于Matlab的PMSM模型初探
weixin_39563827的博客
12-10 3229
本文首发自微信公众号“汽车技术馆”！随着新能源车辆的普及，电机的控制技术逐渐成为了热门的话题，尤其是目前在电机上普遍使用的永磁同步PMSM技术，其实不止是新能源的电机驱动使用了这样的技术，在其它的很多零部件上也有普遍的应用，比如基于PMSM电机设计的水泵，还有大家相对比较熟悉的滚筒洗衣机，都是使用了PMSM的电机设计方式。早些时候接触的比较多的是纯代码形式的功能实现，即使用手写代码的方式实现单片机...
【CTF-Misc领域】文件隐写、内存取证与数据修复技术应用：安全竞赛核心技能解析
最新发布
05-17
内容概要：本文详细介绍了CTF-Misc题型的应用指南，涵盖文件隐写、内存取证、数据修复等方面的核心技术。文件操作与隐写部分，讲述了文件类型识别方法（如使用file命令、010 Editor等工具查看文件特征），以及文件分离与合并的方法（如Binwalk自动化工具、dd命令手动操作）。图片隐写技术方面，包括颜色通道分析（如使用Stegsolve）、帧差异对比、Exif信息读取等。内存取证则主要围绕Volatility框架展开，介绍其基础命令（如imageinfo、pslist）和特殊场景处理（如加密文档爆破）。此外，还提供了若干工具推荐，如十六进制编辑器、自动化分离工具、OCR识别库等，并分享了实战技巧，如逆向思维应用和隐蔽信息挖掘。 适合人群：对CTF比赛感兴趣的安全研究人员、网络安全爱好者及有一定计算机基础知识的学习者。 使用场景及目标：①掌握文件隐写与修复技术，能够识别和处理各种文件类型的隐写和损坏问题；②学会使用Volatility进行内存取证，提取关键信息；③提高对隐蔽信息的敏感度，培养解决复杂问题的能力。 阅读建议：本文内容丰富，涉及多个技术领域，建议读者先熟悉基本概念和常用工具的使用，再逐步深入理解各个技术细节，在实践中不断积累经验。
CSAPP程序人生大作业
05-17
CSAPP程序人生大作业
基于python+树莓派图像识别的智能循迹避障小车+源码+项目文档（毕业设计&课程设计&项目开发）
05-17
基于python+树莓派图像识别的智能循迹避障小车+源码+项目文档，适合毕业设计、课程设计、项目开发。项目源码已经过严格测试，可以放心参考并在此基础上延申使用，详情见md文档 具体原理 道路检测 本程序所使用的道路检测算法为最基础的检测算法，可升级至深度学习算法，但是没时间搞主要是不会 对于道路检测而言，最基本的就是在图像上随机抽取图像上下部等宽区域，将图像的灰度中心计算出来，由此可以看出，当上半部图像的灰度中心与下半部图像中心的位置差超出阈值时，判定道路出现了转弯，以图像中心为坐标原点，当插值大于0时说明要右转，反之左转。可自由设置。 标识牌检测 使用opencv自带的训练网络，虽然实际训练了，但是结果较差，采用了国外训练好的图像模型，在代码中提供了。 障碍物检测 超声波检测，虽然没啥用，毕竟我们的障碍物是停止标志，图像的精度目前看来比超声波准，不过本着买了就要用的原则，用了 距离测算 采用单目视觉，首先对相机进行标定，然后利用角度计算得出前方的实际距离。但是相机在运动过程晃动较大，最后还是热熔胶枪粘的，这个功能的演示就弃了。
深度学习中基于层结构添加自注意力机制的技术研究及其应用 特征融合
05-17
内容概要：本文探讨了在深度学习框架下，通过在神经网络的层结构中引入自注意力机制来提升模型性能的方法。首先介绍了自注意力机制的基本概念及其在序列数据处理中的优势，然后详细阐述了如何在每一层中添加自注意力层以及如何融合不同层次的自注意力输出。最后，通过一系列实验验证了这种方法在自然语言处理和计算机视觉任务中的有效性，证明了其能够显著提高模型的表现。 适合人群：从事深度学习研究和技术开发的专业人士，尤其是对自注意力机制感兴趣的科研人员和工程师。 使用场景及目标：适用于需要改进现有神经网络模型性能的项目，特别是在处理复杂序列数据的任务中，如文本分类、图像识别等。目标是通过引入自注意力机制优化模型架构，增强模型对不同层次特征的理解能力。 阅读建议：对于希望深入了解自注意力机制并将其应用于实际项目的读者来说，本文提供了详细的理论背景和实现步骤。建议读者结合自己的应用场景，尝试复现文中提到的实验，以便更好地掌握这一技术。
SYN.SHX
05-17
拷贝到Auto CAD的Fonts下
单级蜗轮蜗杆减速器的设计.rar
05-17
单级蜗轮蜗杆减速器的设计.rar
双三相永磁同步电机数学模型
01-05
### 双三相永磁同步电机数学模型 #### 三相静止坐标系下的电机模型 在三相静止坐标系下，双三相永磁同步电机可以被看作两个独立的三相绕组系统。每个系统的电压方程可表示为： 对于第一个三相绕组： \[ v_{a1} = R_s i_{a1} + L \frac{di_{a1}}{dt} - ωL q_1 i_{b1} \] \[ v_{b1} = R_s i_{b1} + L \frac{di_{b1}}{dt} + ωL q_1 i_{a1} \] \[ v_{c1} = R_s i_{c1} + L \frac{di_{c1}}{dt} \] 其中 \(v\) 表示线圈两端的电压, \(i\) 是流过线圈的电流, \(R_s\) 和 \(L\) 分别代表定子电阻和电感, 而 \(ω\) 则是角频率[^1]。 第二个三相绕组同样遵循类似的表达形式，只是索引变为2而不是1。 #### 两相静止坐标系下的电机模型 为了简化控制系统的设计，在实际应用中通常会将上述三个变量转换到αβ两相静止坐标系上。这种变换可以通过克拉克变换(Clark's Transformation)完成: \[ \begin{pmatrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{pmatrix}_k = \sqrt{\frac{2}{3}} \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i_a\\ i_b\\ i_c \end{pmatrix}_k, (k=1,2) \] 这里\(i_\alpha,i_\beta\)分别对应于新坐标系上的分量；而矩阵乘法实现了从原始abc坐标至新的αβ坐标的映射操作。 #### 旋转坐标系下的电机模型 进一步地，为了更好地实施矢量控制算法，还需要把数据由固定参考框架转移到随转子磁场一起转动的新坐标体系(d-q)，此过程涉及帕克(Park’s)变换: \[ \begin{pmatrix} i_d \\ i_q \end{pmatrix}_{k}= \begin{pmatrix} cosθ&sinθ\\ -sinθ& cosθ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i_\alpha\\ i_\beta \end{pmatrix}_{k}, (k=1,2) \] 最终得到适用于矢量控制器输入端口的标准格式化信号源——即直轴(d-axis)与交轴(q-axis)方向上的瞬态响应特性参数集合。 #### 小结 综上所述，通过对不同坐标系之间相互关系的研究以及相应变换公式的推导，能够建立起一套完整的用于描述双三相永磁同步电动机行为特征的数学模型。该模型不仅有助于理解这类复杂机电装置内部的工作机制，同时也为后续开发高效能驱动器提供了坚实的理论基础。 ```matlab % MATLAB code snippet demonstrating Park transformation function [id, iq] = park_transform(i_alpha, i_beta, theta) % Implementation of the Park transform to convert from alpha-beta frame to dq-frame. c_theta = cos(theta); s_theta = sin(theta); id = c_theta * i_alpha + s_theta * i_beta; iq = -s_theta * i_alpha + c_theta * i_beta; end ```
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