永磁同步电机模型第一篇之坐标变换

前言

本文主要介绍永磁电机模型的坐标变化极其推导过程。本文主要参考资料：

• 哈肯.工业运动控制——电机选择、驱动器和控制器应用.机械工业出版社
• 永磁同步电机常见形式状态方程推导 传送门
• 陈伯时.自动控制系统——电力拖动控制.中央广播电视大学出版社
• 付兴贺，陈　锐.电机中AＢＣ 到ｄｑ０ 坐标变换的梳理与辨析

旋转磁场

在直流电机中，通过电刷与换向器切换转子的电流方向，让电机转子旋转起来。而在无刷电机或者永磁同步电机中，没有电刷或换向器，而转子通常为永磁体。这个时候需要在定子中通入正弦电流，从而形成旋转磁场，让永磁体在旋转磁场的推动下旋转起来。下面，重点介绍旋转磁场如何形成。

下图为永磁同步电机的结构示意图：

可以将定子模型简化为下图：

其中U1和U2，V1和V2，W1和W2形成三组空间位置相差120度的绕组。相同组的绕组内通入的电流相同，形成相同方向的磁场。
其抽象图如下图所示：

则分别在U，V，W通入三相交流电

$$\{\begin{array}{rl}& i_{\mathrm{U}}=I\sin (\theta )\\ & i_{\mathrm{V}}=I\sin (\theta +\frac{2\pi }{3})\\ & i_{\mathrm{W}}=I\sin (\theta -\frac{2\pi }{3})\end{array}$$

如下图所示：

在每60度选取一点，可以发现，磁场确实随着电流变化而旋转。上图形象的展示了这一点。另外，也可以提供数学证明。

因为定子绕组是通过导线缠绕而成，可以将其视作电感， 根据公式：
$$\lambda =Li$$

其中，$\lambda$表示磁链，$L$为定子绕组电感，$i$为三项电流。

则可以知道，磁链与电流成正比，所以，可以将三相交流电产生的磁通用下式表示：

$$\{\begin{array}{rl}& {\lambda }_{\mathrm{U}}=LI\sin (\theta )\\ & {\lambda }_{\mathrm{V}}=LI\sin (\theta +\frac{2\pi }{3})\\ & {\lambda }_{\mathrm{W}}=LI\sin (\theta -\frac{2\pi }{3})\end{array}$$

为了方便分析，可以建立下图($\alpha -\beta$坐标系)。因为$LI$为常数，可以设为$F_{\max }$ 。

则可以得到三相叠加在$\alpha$轴的分量为：
$$\begin{array}{rl}{\lambda }_{\alpha }=& {\lambda }_{\mathrm{U}}\cos 0+{\lambda }_{\mathrm{V}}\cos \left(\frac{2}{3}\pi \right)+{\lambda }_{\mathrm{W}}\cos \left(-\frac{2}{3}\pi \right)\\ =& F_{\max }\sin \theta +F_{\max }\sin \left(\theta +\frac{2}{3}\pi \right)\cos \left(\frac{2}{3}\pi \right)+F_{\max }\sin \left(\theta -\frac{2}{3}\pi \right)\cos \left(-\frac{2}{3}\pi \right)\\ =& F_{\max }\left\{\sin \theta +\cos \left(\frac{2}{3}\pi \right)\left[\sin \left(\theta +\frac{2}{3}\pi \right)+\sin \left(\theta -\frac{2}{3}\pi \right)\right]\right\}\end{array}$$

在$\beta$轴的分量为：
$$\begin{array}{rl}{\lambda }_{\beta }& ={\lambda }_{\mathrm{U}}\sin 0+{\lambda }_{\mathrm{V}}\sin (\frac{2}{3}\pi )+{\lambda }_{\mathrm{W}}\sin (-\frac{2}{3}\pi )\\ & =F_{\max }\sin \left(\theta +\frac{2}{3}\pi \right)\sin \left(\frac{2}{3}\pi \right)+F_{\max }\sin \left(\theta -\frac{2}{3}\pi \right)\sin \left(-\frac{2}{3}\pi \right)\\ & =F_{\max }\sin \left(\frac{2}{3}\pi \right)\left[\sin \left(\theta +\frac{2}{3}\pi \right)-\sin \left(\theta -\frac{2}{3}\pi \right)\right]\end{array})$$

通过和差化积公式：
$$\begin{array}{r}\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\\ \sin \alpha -\sin \beta =2\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\end{array}$$
可得：
$$\begin{array}{r}\sin \left(\theta +\frac{2}{3}\pi \right)+\sin \left(\theta -\frac{2}{3}\pi \right)=2\sin \theta \cos \frac{2}{3}\pi \\ \sin \left(\theta +\frac{2}{3}\pi \right)-\sin \left(\theta -\frac{2}{3}\pi \right)=2\cos \theta \sin \frac{2}{3}\pi \end{array}$$
所以
$$\begin{array}{rl}{\lambda }_{\alpha }& =F_{\max }\left\{\sin \theta +\cos \left(\frac{2}{3}\pi \right)\left[\sin \left(\theta +\frac{2}{3}\pi \right)+\sin \left(\theta -\frac{2}{3}\pi \right)\right]\right\}\\ & =F_{\max }\sin \theta +2F_{\max }{\left[\cos \left(\frac{2}{3}\pi \right)\right]}^2\sin \theta \\ & =\frac{3}{2}{F}_{\max }\sin \theta \\ {\lambda }_{\beta }& =F_{\max }\sin \left(\frac{2}{3}\pi \right)\left[\sin \left(\theta +\frac{2}{3}\pi \right)-\sin \left(\theta -\frac{2}{3}\pi \right)\right]\\ & =2F_{\max }{\left[\sin \left(\frac{2}{3}\pi \right)\right]}^2\cos \theta \\ & =\frac{3}{2}{F}_{\max }\cos \theta \end{array}$$
由此可见，当按照上述线序时，电动机磁场顺时针旋转。

clark变换和park变换

坐标变换的目的

在直流电机，励磁绕组轴线方向为磁通方向，该方向为直轴(d轴)，电枢绕组产生的电枢磁动势轴线方向则被定义为交轴(q轴)。在直流电机中，通过电刷换向器等硬件器件，将电枢电动势的轴线限定在q轴，所以，直流电机模型比较简单。而在交流电机中，主磁通和电流都是随着时间变化的函数，其数学模型复杂。采用坐标变换的目的就是将交流电机的物理模型等效为直流电机。

坐标系

在永磁同步电机中，有三个空间坐标系。

• 定子三项绕组形成的ABC坐标系
• 等效的两相绕组的$\alpha \beta$坐标系
• 和转子同步旋转的dq坐标系
  

坐标转换的最终结果就是将ABC三项坐标系转换为dq坐标系。在不同的文献中，对于clark变换和park变换的定义并不相同。最常见的用法为：

clark变换：将三相静止变换成两相静止，即有ABC坐标系变换成$\alpha \beta$坐标系。也称为3s/2s变换。
park变换：将静止两相坐标转换成旋转坐标，即由$\alpha \beta$坐标系变换成dq坐标系。也称为2s/2r变换。

3s/2s变换(clark变换)

在3s/2s变换中，分成等幅值变换和等功率变换两种变换形式。其实二者的区别并不是很大，只是系数的变化。在上文证明磁场旋转的时候其实已经使用了clark变换了。

$$\begin{array}{rl}{F}_{\alpha }& =k\left[F_A+F_B\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)+F_C\cos \left(-\frac{2\pi }{3}\right)\right]\\ & =k\left(F_A-\frac{1}{2}{F}_B-\frac{1}{2}{F}_C\right)\\ F_{\beta }& =k\left[F_B\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)+F_C\sin \left(-\frac{2\pi }{3}\right)\right]\\ & =k\left(\frac{\sqrt{3}}{2}{F}_B-\frac{\sqrt{3}}{2}{F}_C\right)\end{array}$$
写成矩阵方式：

$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}{F}_A\\ F_B\end{array}\right]=k\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt[]{3}}{2}& -\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_A\\ F_B\\ F_C\end{array}\right]\end{array}$$

等幅变换

$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}{F}_{\alpha }\\ F_{\beta }\end{array}\right]=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt[]{3}}{2}& -\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_A\\ F_B\\ F_C\end{array}\right]\end{array}$$

引入一个变量$F_0$，则可以变换转成：
$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}{F}_{\alpha }\\ F_{\beta }\\ F_0\end{array}\right]=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt[]{3}}{2}& -\frac{\sqrt[]{3}}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_A\\ F_B\\ F_C\end{array}\right]\end{array}$$
其逆变换为：
$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}{F}_A\\ F_B\\ F_C\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt[]{3}}{2}& 1\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt[]{3}}{2}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_{\alpha }\\ F_{\beta }\\ F_0\end{array}\right]\end{array}$$

去掉多余变量为：
$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}{F}_A\\ F_B\\ F_C\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt[]{3}}{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_{\alpha }\\ F_{\beta }\end{array}\right]\end{array}$$

对于三相Y型不带零线的接法，则$F_A+F_B+F_C=0$。则可以将$F_C$去掉，得到：
$$\left[\begin{array}{c}{F}_{\alpha }\\ F_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ \frac{1}{\sqrt[]{3}}& \frac{2}{\sqrt[]{3}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_A\\ F_B\end{array}\right]$$
逆变换为：
$$\left[\begin{array}{c}{F}_A\\ F_B\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_{\alpha }\\ F_{\beta }\end{array}\right]$$

等功率变换

等功率变换六个方程分别为：

$$\begin{array}{r}\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt[]{3}}{2}& -\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}\right]\end{array}$$

$$\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt[]{3}}{2}& -\frac{\sqrt[]{3}}{2}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$$

$$\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& \frac{1}{\sqrt[]{2}}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt[]{3}}{2}& \frac{1}{\sqrt[]{2}}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt[]{3}}{2}& \frac{1}{\sqrt[]{2}}\end{array}\right]$$

$$\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt[]{3}}{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{cc}\sqrt[]{\frac{3}{2}}& 0\\ \frac{1}{\sqrt[]{2}}& \sqrt[]{2}\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{cc}\sqrt[]{\frac{2}{3}}& 0\\ -\frac{1}{\sqrt[]{6}}& \frac{1}{\sqrt[]{2}}\end{array}\right]$$

2s/2r变换(park变换)

如上图所示，当旋转坐标系旋转$\theta$角时，可以得到：

$$\left[\begin{array}{c}{F}_d\\ F_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_{\alpha }\\ F_{\beta }\end{array}\right]$$
其逆变换为：
$$\left[\begin{array}{c}{F}_{\alpha }\\ F_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_d\\ F_q\end{array}\right]$$