【计算机视觉】对极几何

我的《计算机视觉》系列参考UC Berkeley的CS180课程，PPT可以在课程主页看到。

在上一篇文章3D视觉中我们介绍了在两个照相机像平面共面的情况下如何计算深度：深度与景物在图片中的位移成反比。这篇文章我们讨论更一般的情形，像平面不必共面，甚至不必平行。假设两个相机的内参（intrinsics）都是标定（calibrate）过的。

一、极线约束（Epipolar Constraint）

设两个相机的投影中心分别为$O$和$O^{\prime }$（回想一下投影中心其实可以理解为所有光线都汇聚到的点），两个像平面分别为$\Pi$和${\Pi }^{\prime }$。设景物在$P$点，$OP$与$\Pi$交于点$p$，这个$p$就是景物在像平面$\Pi$上的对应点。知道了$p$在第一张照片上的坐标，就知道了景物所在的直线——图中的$OP$。现在我们需要在第二张照片上找到景物对应的点。在哪儿找呢？上一篇文章我们讨论的情况中景物一定会出现在一条水平线上。在我们现在讨论的一般情况下，它还是出现在一条直线上吗？答案是肯定的。因为，任取$OP$上的点$P_1,P_2,\cdots$，令$O^{\prime }{P}_i$与${\Pi }^{\prime }$交于$p_i^{\prime }$，$p_i^{\prime }$就是假设景物在$P_i$点时 其对应于第二张照片上的点。还是那个套路，我们知道$O{P}_i$一定在 由$OP$和$O{O}^{\prime }$确定的平面$O{O}^{\prime }P$上，那么$P_i$在第二张图片上的对应点$p_i^{\prime }$也一定在 平面$O{O}^{\prime }P$上；而$p^{\prime }$又在平面${\Pi }^{\prime }$上，所以$p^{\prime }$一定在平面${\Pi }^{\prime }$和平面$OO{P}^{}$