本文探讨了傅里叶变换的局限性及其在处理某些信号时的不足，特别是当信号幅值无限增大时。引入了Laplace变换作为解决方案，它通过在指数函数中加入快速衰减项，解决了狄利赫里条件难以满足的问题，从而能够更广泛地应用于信号处理和控制系统分析。
从傅里叶变换到Laplace变换
傅里叶变换的不完美之处
F
(
w
)
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
t
)
e
−
i
w
t
d
t
F(w)=\int_{- \infty}^{+\infty} f(t) e^{-iwt} dt
F(w)=∫−∞+∞f(t)e−iwtdt
狄利赫里条件的第三条，非常不容易满足
例如
x
(
t
)
=
x
2
x(t)=x^2
x(t)=x2 当积分的时候，很容易大于
+
∞
+\infty
+∞
Laplace变换
Laplace变换可以看做是傅里叶变换的升级版，在指数函数当中加入了快速衰减函数
e
−
σ
x
σ
>
0
e^{-\sigma x} \quad \sigma > 0
e−σxσ>0
l
i
m
x
→
+
∞
f
(
x
)
e
−
σ
x
=
0
σ
>
0
lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) e^{-\sigma x} = 0 \quad \sigma > 0
limx→+∞f(x)e−σx=0σ>0
Laplace变换公式
F
(
w
)
=
∫
0
+
∞
f
(
t
)
e
−
σ
t
e
−
i
w
t
d
t
=
∫
0
+
∞
f
(
t
)
e
−
(
σ
+
i
w
)
t
d
t
F(w)=\int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-\sigma t} e ^{-iwt} dt = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-(\sigma + iw)t} dt
F(w)=∫0+∞f(t)e−σte−iwtdt=∫0+∞f(t)e−(σ+iw)tdt
令
s
=
σ
+
i
w
s=\sigma+iw
s=σ+iw
F
(
w
)
=
∫
0
+
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
F(w)= \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt
F(w)=∫0+∞f(t)e−stdt
原视频：
https://www.bilibili.com/video/av44073817?p=6
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