【高等数学笔记】多元函数微分学在几何上的应用、Frenet标架、空间曲线的曲率与挠率

一、空间曲线的切线与法平面

空间曲线的参数方程：$\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^3$，$\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))(t\in [\alpha ,\beta ])$
连续曲线：$\mathbf{r}(t)$在$[\alpha ,\beta ]$上连续，即$x(t),y(t),z(t)$均在$[\alpha ,\beta ]$上连续
简单曲线：连续且不自交，即$\forall t_1,t_2\in (\alpha ,\beta )$，$t_1\ne t_2$，均有$\mathbf{r}(t_1)\ne \mathbf{r}(t_2)$
简单闭曲线：简单曲线且$\mathbf{r}(\alpha )=\mathbf{r}(\beta )$
正向：$t$增大的方向（负向：$t$减小的方向）
有向曲线：规定了正向的曲线
切向量：设点$P_0=\mathbf{r}(t_0)$，则$\dot{\mathbf{r}}(t_0)$就是在点$P_0$的一个切向量
切线：$\frac{x-x_0(t_0)}{\dot{x}(t_0)}=\frac{y-y_0(t_0)}{\dot{y}(t_0)}=\frac{z-z_0(t_0)}{\dot{z}(t_0)}$或$\mathbf{\rho }=\mathbf{r}(t_0)+t\dot{\mathbf{r}}(t_0)$
光滑曲线：切线方向连续变化的曲线，即$\mathbf{r}(t)$有连续导数且导数在$[\alpha ,\beta ]$上恒不为$0$
法线：过$P_0$且与$P_0$处的切线垂直的任一直线
法平面：所有法线位于法平面内，方程：$\dot{\mathbf{r}}(t_0)\cdot [\mathbf{\rho }-\mathbf{r}(t_0)]=0$或$\dot{x}(t_0)[x-x(t_0)]+\dot{y}(t_0)[y-y(t_0)]+\dot{z}(t_0)[z-z(t_0)]=0$
一般式方程：设曲线方程为$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$，且雅可比式${\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}|}_{P_0}\ne 0$，可以求解关于$\text{d}x,\text{d}y,\text{d}z$的方程组$$\{\begin{array}{l}{F}_x(P_0)\text{d}x+F_y(P_0)\text{d}y\end{array}$$