【数据结构与算法/图论】Prim和Kruskal最小生成树算法正确性的证明

一、最小生成树简介

一个有$n$个顶点的连通图$G=(V,E)$的生成树是包含$G$中全部顶点的一个极小连通子图，它有且仅有$n-1$条边。也就是说，如果添加一条边，则构成回路；如果删去任何一条边，则生成树不再连通。一个生成树的代价为该生成树中所有边权的总和。称代价最小的生成树为最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）。

最小生成树是图的一种重要应用，在城市道路交通规划、网络路由选择、城市通信网架设等实际问题中应用广泛。例如，在$n$个城市之间架设通信网路，最多可设置$\frac{n(n-1)}{2}$条线路，每条线路都有一定的成本，如何从这$\frac{n(n-1)}{2}$条线路中选择$n-1$条线路，使得总成本最小？将这一问题表示为带权连通图，用图中的顶点表示城市，边表示城市之间的通信线路，边的权值为设置该线路所需的成本，则问题就可以转化为求这个图的最小生成树。

二、最小生成树的性质

定理1 最小生成树的子树也是最小生成树。
证明：设$T=(V,E_T)$是图$G$的一棵最小生成树，$T^{\prime }=(U,E_U)\subseteq T$，下面证明$T^{\prime }$是$U$的导出子图$G^{\prime }$的最小生成树。若$T^{\prime }$不是$G^{\prime }$的最小生成树，则取$G^{\prime }$的最小生成树$T^{\ast }$，用$T^{\ast }$中的边替换$T$在$U$中的边$E_U$可以得到代价更小的生成树，这与$T$是最小生成树矛盾。因此$T^{\prime }$一定是$G^{\prime }$的最小生成树。∎

定理2（Key Property） 设$T=(V,E_T)$是图$G=(V,E)$的一棵最小生成树，$w(e)$表示边$e$的权值。假设$F\subseteq E_T$（即$F$是$T$的边集的子集），$U\subset V$是$G$的一个点集，边集 M = { ( u , v ) ∈ E ∣ u ∈ U , v ∈ V − U } M=\{(u,v)\in E|u\in U,v\in V-U\} M={(u,v)∈<