洛谷P2392 kkksc03临时抱佛脚题解

最新推荐文章于 2024-10-30 14:06:59 发布

seh_sjlj

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分类专栏： OI 文章标签：动态规划

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qaqwqaqwq/article/details/120239235

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博客探讨了一道编程题，涉及贪心策略和动态规划。题目要求找到最优的脑力分配策略，使两个大脑完成任务的时间总和最小。贪心策略失败后，作者转向动态规划，通过建立背包问题模型，实现状态转移方程，成功解决问题。代码示例展示了动态规划的实现过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

链接https://www.luogu.com.cn/problem/P2392https://www.luogu.com.cn/problem/P2392

正解

打眼一看，这道题有个标签。

好啊，贪就贪呗。

贪心策略：对于某道题，目前哪边脑子花的时间少就用那边。

交上去：0分。

问题出在哪了呢？

举个Hack数据：

2 1 100 2

按照我们的策略，答案是101。

可是明明可以左脑算100，右脑算2+1+2。答案是100。

如果考场上想不出来Hack数据怎么办呢？

那就尝试用数学归纳法证明我们的贪心策略的正确性。

① 当n=0、n=1、n=2时显然成立。

② 假设当n=k时成立。当n=k+1时，设左脑运算时常为 $p$ ，右脑为 $q$ ，则 $|p-q|$ 最小。不妨设 $p > q$ ，则按照我们的贪心策略，右脑的运算时间变为 $q'=q+a_{k+1}$ 。两脑时间差的绝对值为 $|p-q-a_{k+1}|$ 。如何证明 $|p-q-a_{k+1}|$ 在所有方案中最小呢？我们无从下手。反之，当 $a_{k+1}\ge p+q$ 时，我们能证明总是存在一种更优的方案，那就是 $a_1\to a_k$ 全部由一个脑来算。因此贪心策略不成立。

正解

那怎么办呢？

当然，这道题数据范围过小，我们可以暴力状压水过。

但这样不优雅。

考虑背包：最大化花时间较少的脑子所用的时间。背包容量不超过 $\lfloor \frac{sum}{2} \rfloor$ 。即：对于一个容量为 $\lfloor \frac{sum}{2} \rfloor$ 的背包，往里面装更多的东西使得剩余的空间更小。这样就能保证花时间较少的脑子所用的时间更大。

物品占用的资源和拥有的价值都是每道题花的时间。转移方程f[k]=max(f[k], f[k - a[j]] + a[j])。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <queue>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int MAXN = 21;
int n[5], a[5][MAXN], sum[5];
int f[5][605];

int main()
{
    for(int i = 1; i <= 4; ++i) cin >> n[i];
    for(int i = 1; i <= 4; ++i)
        for(int j = 1; j <= n[i]; ++j)
            cin >> a[i][j], sum[i] += a[i][j];
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= 4; ++i)
    {
        for(int j = 1; j <= n[i]; ++j)
        {
            for(int k = sum[i] / 2; k >= a[i][j]; --k)
            {
                f[i][k] = max(f[i][k],
                    f[i][k - a[i][j]] + a[i][j]);
            }
        }
        ans += sum[i] - f[i][sum[i] / 2];
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}