54、量子通信中的无克隆定理与容量定理解析

量子通信中的无克隆定理与容量定理解析

1. 量子通信概述

量子通信涵盖了多种量子信息处理任务，如混合态传输、纯态传输和纠缠生成。若Alice能保持与参考系统的纠缠，她就可以传输任何混合态或纯态。同样，若她能保持与参考系统的纠缠，也能与Bob生成纠缠，只需在本地创建一个纠缠态，并将相关协议应用于纠缠态的一个系统即可。

有一个关于量子通信的练习要求证明：一个 $(n, Q, ε)$ 量子通信协议需满足 $\frac{1}{2} \left\lVert \text{id} {A1 \to B1} - D {Bn \to B1} \circ N^{\otimes n} {A’ \to B} \circ E {A1 \to A’n} \right\rVert_{\diamond} \leq ε$，其中 $\left\lVert \cdot \right\rVert_{\diamond}$ 表示钻石范数。

2. 无克隆定理与量子通信

在阐述和证明量子容量定理之前，先探讨量子擦除信道上的量子通信。量子擦除信道以 $1 - ε$ 的概率将Alice的输入状态传递给Bob，以 $ε$ 的概率向Bob发送擦除标志，其数学表示为 $ρ \to (1 - ε) ρ + ε|e⟩⟨e|$，其中对于所有输入 $ρ$ 都有 $\langle e|ρ|e\rangle = 0$。该信道的等距扩展为 $|ψ⟩ {RA} \to \sqrt{1 - ε}|ψ⟩ {RB}|e⟩ {E} + \sqrt{ε}|ψ⟩ {RE}|e⟩_{B}$，这意味着Eve以 $ε$ 的概率获得状态，以 $1 - ε$ 的概率