24、量子信息中的熵：概念、性质与挑战

量子信息中的熵：概念、性质与挑战

1. 量子熵的定义与直观解释

量子系统的熵衡量与经典系统的熵衡量有很大不同，因为量子系统不仅有经典不确定性，还有源于不确定性原理的量子不确定性。不过，密度算符能捕捉这两种不确定性，所以量子不确定性的衡量应该是密度算符的直接函数，就像经典不确定性的衡量是概率密度函数的直接函数一样。

1.1 量子熵的定义

假设Alice准备了一个处于状态$\rho_A \in D(H_A)$的量子系统A，该状态的熵$H(A) {\rho}$定义为：
$H(A) {\rho} \equiv -Tr {\rho_A \log \rho_A }$
量子系统的熵也被称为冯·诺伊曼熵或量子熵，通常简称为熵。可以用$H(A)_{\rho}$或$H(\rho_A)$来表示对密度算符$\rho_A$的明确依赖。

1.2 量子熵的直观解释

假设Alice根据概率密度$p_Y (y)$生成量子态$|\psi_y\rangle$，对应随机变量Y。Bob未收到Alice发送的状态，也不知道她发送的是哪一个。从Bob的角度来看，期望密度算符为：
$\sigma = E_Y {|\psi_Y\rangle\langle\psi_Y|} = \sum_y p_Y (y)|\psi_y\rangle\langle\psi_y|$
熵$H(\sigma)$量化了Bob对Alice发送状态的不确定性，他在接收并测量Alice发送的状态后，期望获得的信息量为$H(\sigma)$个量子比特。

1.3 量子熵与经典熵的差异

考虑“BB84”系综${ {1/