25、量子信息熵相关概念解析

量子信息熵相关概念解析

1. 条件量子熵

在量子信息理论中，之前基于测量定义的条件量子熵存在诸多问题。比如，它仅适用于纯量子态，难以应用于二部量子态，而且在某些情况下，给定一方系统时其他方系统的条件熵相同，这一特性显得十分奇怪。因此，这种条件概率的概念对于定义条件量子熵并无太大用处。

目前，在量子信息理论中最有用的条件量子熵定义如下：
设 $\rho_{AB} \in D(H_A \otimes H_B)$，$\rho_{AB}$ 的条件量子熵 $H(A|B) {\rho}$ 等于联合量子熵 $H(AB) {\rho}$ 与边缘熵 $H(B) {\rho}$ 之差，即：
$H(A|B) {\rho} \equiv H(AB) {\rho} - H(B) {\rho}$。

这个定义最为自然，一方面对于任何二部态都易于计算，另一方面它遵循许多经典条件熵所满足的关系，例如熵链规则和条件作用会降低熵。有一个定理表明“条件作用不会增加熵”：
考虑二部量子态 $\rho_{AB}$，则边缘熵 $H(A) {\rho}$ 和条件量子熵 $H(A|B) {\rho}$ 满足不等式：
$H(A) {\rho} \geq H(A|B) {\rho}$。
这意味着即使条件系统是量子的，条件作用也不会增加熵。

1.1 经典 - 量子态的条件熵

经典 - 量子态是条件量子熵表现与经典世界类似的一个例子。假设两方共享形式为 (11.32) 的经典 - 量子态 $\rho_{XB}$，其中系统 $X$ 是经典