8、复值偏微分方程的控制研究

复值偏微分方程的控制研究

1. 算子与半群性质

首先，我们定义了算子 $\tilde{A}$，其作用于函数 $\phi(x)$ 的表达式为 $\tilde{A}\phi(x) = -j\phi^{\prime\prime}(x) - p_1(x)\phi^{\prime}(1)$，其中 $\phi$ 属于定义域 $D(\tilde{A}) = {\phi|\phi^{\prime}(0) = 0, \phi(1) = 0}$，并且 $p_1(x)$ 由特定公式给定。$\tilde{A}$ 是 $H = L^2(0, 1)$ 中的 Riesz 谱算子，具有以下重要性质：
- 特征值 ：$\tilde{A}$ 的特征值为 $\sigma = -\tilde{c} + j\frac{\pi^2(2n + 1)^2}{4}$，其中 $n = 0, 1, 2, \cdots$。
- 谱决定增长条件 ：半群 $e^{\tilde{A}t}$ 满足谱决定增长条件。
- 指数稳定性 ：半群 $e^{\tilde{A}t}$ 是指数稳定的，即 $|e^{\tilde{A}t}| \leq M_2e^{-\tilde{c}t}$，对于所有 $t \geq 0$ 成立，其中 $M_2 > 0$，$\tilde{c}$ 是任意正的设计参数。

为了证明这些性质，我们定义了另一个算子 $\tilde{B}$，$\tilde{B}\phi(x) = -j\phi^{\prime\prime}(x) - \tilde{c}\phi(x)$，定义域为 $D(\tilde{B}) = {