9、复值偏微分方程控制与自适应边界稳定化方法解析

复值偏微分方程控制与自适应边界稳定化方法解析

1. 复值偏微分方程控制基础

在复值偏微分方程（PDE）的控制中，对于Ginzburg - Landau方程的控制设计有着重要的研究价值。在计算反馈核函数时，如果将定义域截断在某个 $x_d \leq x_s$，得到的状态反馈能够使在半无限域 $(-\infty, 1)$ 上演化的系统稳定。这一过程通过使用包含自然阻尼的目标系统，避免完全抵消相关项，确保只对不稳定源进行抵消或控制，从而降低设计复杂度并提高鲁棒性。

2. Ginzburg - Landau方程的观测器设计

控制律通常需要分布式测量，但实际中往往难以获取。因此，设计基于边界测量的观测器十分必要。这里将测量值记为 $Y_R(t) = \rho(1, t)$ 和 $Y_I(t) = \iota(1, t)$，控制输入则为 $\rho_x(1, t)$ 和 $\iota_x(1, t)$。采用Luenberger型观测器：
- $\hat{\rho} t = a_R \hat{\rho} {xx} + b_R(x) \hat{\rho} - a_I\hat{\iota} {xx} - b_I(x)\hat{\iota} + p_1(x)(Y_R - \hat{Y}_R) + p {c,1}(x)(Y_I - \hat{Y} I)$
- $\hat{\iota}_t = a_I \hat{\rho} {xx} + b_I(x) \hat{\rho} + a_R\hat{\iota} {xx} + b_R(x)\hat{\iota} - p {c,1}(x)(Y_R -