46、噪声对动力系统的影响及相关现象解析

噪声对动力系统的影响及相关现象解析

1. 朗之万方程的数值积分

在使用数值方法模拟朗之万方程形式的微分方程时需要格外小心。通过简单的离散化，方程 $\frac{dv}{dt} = -kv + \sigma_n^2 \xi$（其中 $k = \frac{1}{t_{relax}}$）可以近似为：
$v(t + \Delta t) - v(t) = -kv(t)\Delta t + \sigma_n^2 \xi’ \sqrt{\Delta t}$
这里，对于 $\xi’$，我们在每次增量步骤中从均值为 0、方差为 1 的高斯分布中取值。值得注意的是 $\sqrt{\Delta t}$ 的出现。当噪声项表示布朗运动时，维纳证明了噪声服从均值为 0、方差为 $\Delta t$ 的高斯白噪声分布。因此有：
$\xi(x) \approx \frac{1}{\sqrt{\Delta t}} e^{x^2 / 2\Delta t}$ 或 $\xi(x) \sqrt{\Delta t} \approx e^{x^2 / 2\Delta t}$
这是因为简单随机过程的方差随时间线性增加。不过，当模拟使用其他类型的噪声（如均匀分布的白噪声或带限白噪声）时，是否需要 $\sqrt{\Delta}$ 因子并不明确。

2. 噪声与阈值

2.1 线性化

一个接近阈值调整的动态系统对随机扰动（噪声）的影响特别敏感。阈值可以对应于稳定性边界、神经元的放电阈值，或者由 A/D 板的量化产生。以 A/D 板的单个数字化步骤的黑箱表示为例，其功能可以用阶跃函数描述：
$H(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } x \geq 0.5 \ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$
当施加恒定输入 0.25 时，输出显然为 0。若向该恒定输入添加在区间 $[-0.5, 0.5]$ 上均匀分布的噪声 $\xi(t)$，每次试验的输出将为 0 或 1。具体来说，当添加噪声的幅度 $\geq 0.25$ 时，输出为 1。添加噪声幅度大于或等于 $X$ 的概率由互补累积分布函数 $\Phi(x \geq X)$ 给出，其中 $\Phi(x \geq X) = 1 - P(x \leq X)$。大量试验的平均输出等于输出为 1 的试验次数除以总试验次数。对于 $\Phi(x \geq 0.25)$，平均输出将为 0.25。噪声的作用是使 $H(x)$ 的行为线性化。

在神经元的输入 - 输出关系中也有类似应用。神经元近似为阈值装置，但活神经元具有很宽的动态范围。通常用双曲正切函数 $\tanh(x)$ 近似神经元的输入 - 输出关系，而这种近似的有效性实际上是噪声的作用。例如，对于无噪声的漏电积分 - 发放（IF）神经元，其输入 - 输出关系有一定限制，但添加噪声可以扩展神经元的动态范围，并使输入 - 输出关系接近 $\tanh(x)$ 的形式。

2.2 抖动

A/D 板进行幅度量化时会引入两种误差：信号量化导致不可避免的失真，以及丢失与量化步长相比较小的信号细节。定义量化误差 $\eta$ 为：
$\eta = X - Y$
其中 $X$ 是 A/D 板的模拟输入，$Y$ 是从 A/D 板到计算机的模拟信号输入的数字表示。若 A/D 板具有线性响应（即 $X = Y$），则 $\eta = 0$。当量化误差与 $X$ 无关时，输入 $X$ 的统计数据损失最小。一种简单的实现方法是在量化前向信号添加噪声，这种技术称为抖动。

抖动的最佳噪声选择有以下结论：添加适当的抖动信号可以使量化误差独立和白化，从而减少信号失真并改善系统动态范围。最佳的抖动信号是在幅度等于量化步长的区间上均匀分布的白噪声，另一种选择是“蓝噪声”，即对于有限范围的 $f$ 有 $W(f) \approx f$。视网膜细胞呈类似蓝噪声的模式排列，这可能有利于良好的视觉分辨率。

抖动的基本要求是在有噪声的情况下对时间序列进行过采样。如果噪声的频率内容远高于主要信号的频率内容，那么在短时间间隔内，两个量化级别的平均数量可以衡量真实信号与分隔两个相邻区间的阈值的接近程度。因此，可以通过对量化数据进行低通滤波（相当于平均）来恢复真实信号。

以下是抖动过程的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[模拟输入信号] --> B[添加噪声];
    B --> C[量化];
    C --> D[低通滤波];
    D --> E[恢复的信号];

2.3 随机共振

虽然噪声对阈值的线性化效应在某些情况下有用，但在使用阈值交叉触发其他事件的情况下，这种现象可能会带来麻烦。因为在有噪声的情况下，当信号接近阈值时会出现多次阈值交叉。电气工程师开发了一种特殊类型的电压比较器——施密特触发器来解决这个问题。施密特触发器是一种双稳态设备，有两个取决于输出状态的阈值。

福夫和赫斯洛特研究了同时接收弱周期性电压和噪声的施密特触发器的行为，发现通过调整噪声强度可以放大和优化输入信息，这种现象称为随机共振。抖动可以看作是施密特触发器中两个电压阈值水平重合时随机共振的特殊情况。

在神经科学中，随机共振强调了噪声对于感觉神经受体检测弱周期性信号的重要性。考虑一个由正弦函数驱动并添加噪声的一般双稳态系统，例如：
$\frac{dx}{dt} = -\frac{dU(x)}{x} + m\sin(2\pi ft) + \sigma_n^2 \xi(t)$
其中 $U(x)$ 是双势阱势，$\xi$ 描述强度（方差）为 $\sigma^2$ 的高斯分布白噪声。正弦调制的作用是使势面来回摆动。在没有正弦强迫的情况下，噪声可以导致两个吸引盆之间的切换。对于小强度噪声和两个吸引盆之间足够高的势垒，这种切换很少发生。但当 $m \neq 0$ 时，两个势阱之间的切换时间与周期性强迫相关，因此转移概率会周期性调制。当噪声强度加上弱周期性信号的幅度超过分隔两个势阱的势垒高度时，切换更有可能发生。

随机共振机制预测了两个实验中观察到的现象：
- 多峰脉冲间隔直方图的两个奇特性质：模式出现在基本周期的整数倍处，且模式幅度近似呈指数下降。
- 随机共振动态系统的信噪比（SNR）对噪声强度呈现非单调依赖关系。随着噪声强度增加，感觉神经元的输出增加，SNR 在噪声强度平均足以在势垒最浅的时间点引起转移时达到最大值，此后进一步增加噪声强度会使 SNR 恶化。

噪声对于神经系统检测弱感觉输入至关重要，这一结论催生了许多实际应用，如改善人工耳蜗的性能、帮助周围神经病变患者的平衡控制等。

3. 参数噪声

3.1 概述

到目前为止，我们假设噪声的影响是相加的，随机微分方程形式为：
$\frac{dx}{dt} = f(x, x(t - \tau), \mu) + \sigma^2 \xi$
其中 $\mu$ 是参数，$\xi(t)$ 表示方差为 $\sigma^2$ 的噪声。相加噪声也称为状态无关噪声，因为其影响不依赖于状态变量 $x$ 的大小。然而，噪声的影响通常依赖于动态系统的状态，此时随机微分方程形式为：
$\frac{dx}{dt} = f(x, x(t - \tau), \mu, \sigma^2 \xi(t))$
参数噪声（或乘法噪声）在生物学中可能比相加噪声更常见。例如，神经元的膜噪声反映了电导的波动，在霍奇金 - 赫胥黎方程中，膜电流等于电导和驱动电位的乘积，因此膜噪声的影响是状态相关的，属于参数噪声。参数噪声也导致了瞳孔大小的自发波动，并且在运动和平衡控制中也有重要作用。

许多在受相加噪声影响的动态系统中观察到的效应，在受参数噪声影响的线性动态系统中也有类似效应。例如，随机共振现象在受参数噪声影响的动态系统中也会出现。不过，在常微分方程中，参数噪声（而非相加噪声）可以推迟不稳定性的发生；而在时滞动态系统中，两种类型的噪声都可以导致这种推迟。

接近稳定性边界调整的动态系统对相加和参数噪声的影响特别感兴趣。在稳定性边界附近，参数噪声可以随机（或混沌）地迫使参数在稳定性边界上来回移动，导致随机动态系统表现出间歇性和幂律行为，而这些行为在受相加噪声影响的相应动态系统中是看不到的。

相加噪声和参数噪声的区别可以通过考虑噪声对势 $U(x)$ 的影响来理解。对于相加噪声，势不变；而对于参数噪声，势会发生变化。如果稳定性没有变化（即所有最小值仍然是最小值），则具有相加和参数噪声的微分方程会有许多共同特征。但在参数噪声的情况下，势可能会发生显著变化，例如最小值可能变为最大值或完全消失。

3.2 开 - 关间歇性：二次映射

我们可以通过对有噪声的二次映射进行计算机模拟来理解参数噪声在产生幂律行为中的作用。有噪声的二次映射为：
$x_{t + 1} = r(\xi_t)x_t(1 - x_t)$
其中 $r(\xi_t) = ky_t$，$k$ 是常数，$y_t$ 是在区间 $[0, 1]$ 上均匀分布的随机变量。

当 $k < e$（$e$ 是自然对数的底数）时，不动点 $x = 0$ 是稳定的。在 $k = e$ 处发生跨临界分岔。因此，可以将 $r(\xi_t)$ 看作是随机地迫使系统在这个稳定性边界上来回移动。数值实验表明，层流相越长，波动幅度越小。这表明动态几乎完全由映射的线性部分决定，非线性项仅用于限制或重新注入动态，使其回到 $x$ 的小值。

考虑线性映射：
$x_{t + 1} = r(\xi_t)x_t$
只要 $X$ 保持较小，该映射的长期行为由下式给出：
$x_n = \prod_{j = 0}^{n - 1} r_j x_0$
这意味着长期行为由随机乘积 $\Psi_n = \prod_{j = 0}^{n - 1} r_j$ 的渐近行为决定。对两边取对数并利用大数定律，可得：
$\log \Psi_n = \sum_{j = 0}^{n - 1} \log r_j \approx n \langle \log r \rangle$
由于假设参数噪声的分布密度是均匀的，可计算统计平均值为：
$\langle \log r \rangle = \frac{1}{k} \int_0^k \log r dr = \log k - 1$
因此，线性映射的渐近极限为：
$x_n \approx e^{n \langle \log r \rangle} x_0 \approx e^{n(\log k - 1)} x_0 = (\frac{k}{e})^n x_0$
当 $x_n \approx x_0$ 时，$k = e$。当 $\langle \log r \rangle > 0$ 时，不动点 $x = 0$ 平均呈指数不稳定，这是间歇性爆发的来源。但这种不稳定性并不排除在 $x = 0$ 附近出现长轨道段（即层流相）。因此，间歇性开始的临界值 $k$ 为 $e = 2.71828…$。

为了证明二次映射的幂律行为，需要定义层流相。我们选择一个任意阈值，测量连续阈值交叉之间的时间。这里将层流相定义为连续两次向上穿过阈值的长度 $\delta t$。对 $\delta t$ 的概率 $P(\delta t)$ 进行对数 - 对数绘图，会发现存在一个斜率为 $-\frac{3}{2}$ 的线性区域，理论上预测当 $k \geq e$ 时，二次映射会出现 $-\frac{3}{2}$ 的幂律行为。

以下是二次映射相关情况的表格总结：
|条件|结果|
| ---- | ---- |
|$k < e$|不动点 $x = 0$ 稳定|
|$k = e$|发生跨临界分岔|
|$k \geq e$|出现幂律行为，存在开 - 关间歇性|

总之，噪声在动态系统中扮演着重要角色，不同类型的噪声（相加噪声和参数噪声）对系统的影响不同，并且在许多生物和工程应用中都有重要意义。通过对朗之万方程、A/D 板量化、神经元行为、随机共振以及参数噪声等方面的研究，我们可以更深入地理解动态系统的行为和特性。

噪声对动力系统的影响及相关现象解析（续）

4. 不同类型噪声影响对比总结

为了更清晰地理解相加噪声和参数噪声对动态系统的影响，我们将相关信息总结如下表：
|噪声类型|对动态系统的影响|对稳定性的作用|对势函数的影响|常见应用场景|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|相加噪声|线性化阈值行为，在某些情况下可扩展系统动态范围|在常微分方程中一般不推迟不稳定性发生；在时滞动态系统中可推迟不稳定性|势函数不变|A/D 板量化抖动、部分神经元输入 - 输出关系线性化|
|参数噪声|可导致间歇性和幂律行为，也可扩展系统动态范围|在常微分方程和时滞动态系统中都可能推迟不稳定性发生|势函数可能发生显著变化，如最小值变最大值或消失|神经元膜噪声、瞳孔大小波动、运动和平衡控制|

从这个表格可以看出，两种噪声类型在多个方面存在明显差异，这也决定了它们在不同场景中的应用和效果。

5. 噪声相关现象的应用拓展

噪声相关现象在多个领域都有广泛的应用，下面我们详细介绍一些具体的应用场景及操作步骤。

5.1 人工耳蜗性能优化

在人工耳蜗中，随机共振现象可以用于提高对弱声音信号的检测能力。具体操作步骤如下：
1. 信号采集 ：通过麦克风收集外界声音信号。
2. 噪声添加 ：根据患者的听力情况和环境噪声水平，添加适当强度的噪声到采集的声音信号中。这里的噪声可以是均匀分布的白噪声，强度需要通过实验和测试来确定，以达到最佳的信号检测效果。
3. 信号处理 ：对添加噪声后的信号进行处理，包括放大、滤波等操作，以增强信号的可检测性。
4. 信号传输 ：将处理后的信号传输到人工耳蜗的电极，刺激听觉神经。

以下是人工耳蜗性能优化过程的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[声音信号采集] --> B[添加噪声];
    B --> C[信号处理];
    C --> D[信号传输到电极];
    D --> E[刺激听觉神经];

5.2 周围神经病变患者平衡控制

对于周围神经病变患者，参数噪声可以用于改善平衡控制。具体操作步骤如下：
1. 患者评估 ：对患者的平衡能力、神经功能等进行全面评估，确定患者的具体情况和需求。
2. 噪声设计 ：根据患者的评估结果，设计合适的参数噪声信号。例如，可以通过调整噪声的强度、频率等参数，使其与患者的运动和平衡系统相匹配。
3. 噪声施加 ：将设计好的噪声信号通过特定的设备（如振动器、电刺激器等）施加到患者的身体上，通常是在脚部或腿部等关键部位。
4. 训练和调整 ：患者在施加噪声的情况下进行平衡训练，同时根据患者的训练效果和反馈，不断调整噪声信号的参数，以达到最佳的平衡控制效果。

6. 未来研究方向展望

虽然我们已经对噪声在动态系统中的作用有了一定的了解，但仍有许多问题有待进一步研究。以下是一些可能的未来研究方向：
1. 更精确的噪声模型 ：目前的噪声模型大多是基于简化的假设，未来可以发展更精确的噪声模型，考虑更多的因素，如噪声的时空相关性、非高斯分布等，以更准确地描述实际系统中的噪声。
2. 多噪声源相互作用 ：在实际系统中，往往存在多个噪声源，它们之间可能存在相互作用。未来的研究可以关注多噪声源的相互作用机制，以及如何利用或控制这些相互作用来优化系统性能。
3. 生物系统中的噪声应用拓展 ：生物系统中噪声的作用非常复杂，未来可以进一步探索噪声在生物系统中的其他应用，如在药物输送、基因调控等方面的应用。
4. 噪声控制技术 ：开发更有效的噪声控制技术，不仅可以减少噪声的负面影响，还可以利用噪声来实现特定的目标，如提高系统的稳定性、增强信号检测能力等。

通过不断深入研究噪声在动态系统中的作用，我们有望在更多领域取得突破，为解决实际问题提供更有效的方法和策略。

总之，噪声在动态系统中是一个既复杂又重要的因素。不同类型的噪声对系统的影响各异，并且在生物、工程等多个领域都有广泛的应用。随着研究的不断深入，我们对噪声的认识和利用将会更加全面和深入，从而为推动各领域的发展提供有力支持。