10、图像分割：图割与分水岭变换方法

图像分割：图割与分水岭变换方法

1. 图割图像分割

1.1 基本原理

在图像处理中，图割是一种基于图论的方法，用于将数字图像分割为前景和背景。其基本思路是构建一个图，其中每个图像像素作为一个节点，节点之间通过图的边相连，每条边都有一个关联的权重。边连接的像素之间相关性越高，该边的权重就越大。图割算法通过沿着图的弱边进行切割来实现分割。

图 (G) 由节点集 (V)（也称为顶点）和连接节点的边集 (E) 组成，即 (G = (V, E))。这里 (E \subseteq V \times V)，如果 ((u, v) \in E) 意味着 ((v, u) \in E)，则该图为无向图，否则为有向图。在无向图中，边集中元素对的顺序无关紧要。

图的边还可以通过权重矩阵 (W) 来进一步表征，其元素 (w(i, j)) 是连接节点 (i) 和 (j) 的边的权重。由于我们处理的是无向图，所以 (w(i, j) = w(j, i))，这意味着 (W) 是一个对称矩阵。权重的选择与对应节点对之间的一个或多个相似性度量成正比，这种边带有权重的图称为加权图。

图割分割的基本思想是将节点集 (V) 划分为不相交的子集 (V_1, V_2, \cdots, V_K)，使得在某种度量下，子集中节点之间的相似性高，而不同子集节点之间的相似性低。每个子集的元素将构成分割图像中一个区域的像素。通过切割图来实现节点集 (V) 的划分，图的切割是将 (V) 划分为两个子集 (A) 和 (B)，满足 (A \cup B = V) 且 (A \cap B = \varnothing)，具体通过移除连接子图 (A) 和 (B) 的边来实现。

1.2 边权