16、频率域分析：低通滤波器、拉普拉斯变换与传递函数

频率域分析：低通滤波器、拉普拉斯变换与传递函数

1. 低通滤波器

低通滤波器的概念可以通过 RC（电阻 - 电容）电路的行为来阐述。RC 电路在描述膜离子通道的电学特性时会出现，并且是构建低通滤波器的一种便捷且经济的方式。低通滤波器能够去除信号中高于某个截止频率的部分，在使用 A/D（模拟 - 数字）板对连续或模拟信号进行数字化之前，对其进行低通滤波是时间序列分析中的重要步骤。

1.1 RC 电路的微分方程

描述 RC 电路动态的微分方程为：
[i(t) = \frac{V_i(t) - V_o(t)}{R} = C\frac{dV_o(t)}{dt}]
或者
[RC\frac{dV_o(t)}{dt} + V_o(t) = V_i(t)]
其中，(R) 是电阻（单位：欧姆），(C) 是电容（单位：法拉），(i) 是电流（单位：安培），(V_i) 和 (V_o) 分别是输入和输出电压（单位：伏特）。

1.2 RC 电路的低通滤波特性

通过计算机模拟（当 (V_i(t) = \sin(2\pi ft)) 且 (RC = 1 s^{-1}) 时）可以看到，低频正弦输入（如输入频率为 (0.05 s^{-1})）通过 RC 电路时，输出正弦波的幅度几乎没有衰减；而随着输入正弦波频率的增加（如 (0.159 s^{-1}) 和 (5.0 s^{-1})），输出正弦波的幅度会逐渐衰减，频率越高，衰减越大。此外，输入和输出之间还存在相位差，即输出正弦波相对于输入发生了相移。

1.3 相移的概念

相移 (\varphi) 可以通过比较 (\sin(2\pi t -