15、连续变量纠缠理论

连续变量纠缠理论

1. 引言

在研究量子力学系统的纠缠理论时，有很多理由让我们关注由连续变量描述的态的纠缠。分析纠缠的连续变量态看似是一项非常微妙的任务，因为这些态定义在无限维的希尔伯特空间中。不过，对于一类特殊的纠缠连续变量态——高斯纠缠态，其理论描述会大大简化。

高斯纠缠态不仅描述相对简单，还是量子信息应用中最实用的资源之一。例如，在玻色模式中，只需相对适度的二次相互作用就能产生这种高斯纠缠。在高斯态的框架下，可以探索许多有趣的纠缠理论话题，如纠缠见证、束缚纠缠、多体纠缠和非定域性等。本文将重点关注两方（二分）高斯态的纠缠，包括纯态和混合态。

纠缠的概念最早于1935年明确出现在文献中，远早于量子信息这一相对年轻领域的兴起，且最初的讨论并未涉及离散变量的量子比特态。爱因斯坦、波多尔斯基和罗森（EPR）在1935年的论文中讨论的纠缠态是两粒子在位置和动量上具有量子力学关联的态。EPR考虑的位置波函数为 $\psi(x_1, x_2) = C \delta(x_1 - x_2 - u)$，对应的量子态为：
[
|EPR\rangle = \int dx_1dx_2 \psi(x_1, x_2) |x_1, x_2\rangle \propto \int dx |x, x - u\rangle
]
该态描述了完全相关的位置（$x_1 - x_2 = u$）和动量（$p_1 + p_2 = 0$）。虽然EPR态是不可归一化的非物理态，但可以将其视为正则化版本的极限情况，例如双模压缩态就是一种正则化的EPR态。

双模压缩真空态的位置和动量波函数分别为：
[
\psi_{TMSS}(x_1, x_2) = \sqrt