27、量子光学中的相空间与连续变量纠缠

量子光学中的相空间与连续变量纠缠

1 量子光学中的相空间

1.1 Wigner 函数与期望值计算

Wigner 函数在计算 ˆq 和 ˆp 的对称有序函数的期望值时特别有用。对于 ˆq 和 ˆp 的对称函数 S(ˆqnˆpm)，其期望值可表示为：
[Tr[\rho S(\hat{q}^n\hat{p}^m)] = \frac{1}{2\pi\hbar}\int dq dp W(q, p)q^n p^m]
例如，S(ˆqˆp) = (ˆqˆp + ˆpˆq)/2 ，S(ˆq²ˆp) = (ˆq²ˆp + ˆqˆpˆq + ˆpˆq²)/3 。

1.2 相空间中的变换

相空间中的变换与光学模式量子态的演化存在一一对应关系，主要包括平移、旋转和压缩操作。
- 平移操作 ：相空间中的平移对应位移算符 D(α)，满足 (D^{\dagger}(\alpha) \hat{a} D(\alpha) = \hat{a} + \alpha) 。对正交算符 ˆq 和 ˆp 作用后，可得：
[D^{\dagger}(\alpha) \hat{q} D(\alpha) = \hat{q} + \sqrt{2\hbar}Re(\alpha)]
[D^{\dagger}(\alpha) \hat{p} D(\alpha) = \hat{p} + \sqrt{2\hbar}Im(\alpha)]
位移算符只改变 ˆq 和 ˆp 的期望值，不影响其方差和高阶矩。在光子数单位（(\hbar = 1/2)）下，位移算符对位置本征态的作用为 (D(\alpha) |q\rangle = e^{