11、量子纠错：原理、编码与应用

量子纠错：原理、编码与应用

1. 引言

在量子信息处理理论中，通常假设量子力学系统与环境完全解耦。然而，在实际量子系统中实施量子操作时，需要与系统进行交互以控制其动力学，且这种控制精度有限。因此，量子系统的状态不可避免地会发生退相干，最终系统行为越来越接近经典状态。

在Peter Shor发表第一篇关于量子纠错的论文之前，人们普遍认为量子信息处理只是一种纯理论的计算模型，没有实现的可能。十年后，量子纠错理论得到了广泛发展。下面将介绍量子纠错的基本概念，并通过一些简单的量子纠错码进行说明。

2. 量子信道

为了设计能够纠正错误的编码，需要一个错误模型。考虑用于信息处理的系统及其环境的联合希尔伯特空间 ( H_{sys/env} := H_{sys} \otimes H_{env} )。若两个希尔伯特空间的维度足够大，初始状态可视为纯态，且假设系统和环境最初是解耦的。通过增加希尔伯特空间的维度，系统与环境的相互作用可以用联合希尔伯特空间上的酉变换 ( U_{env/sys} ) 来建模。

由于无法访问环境，我们只关注系统的状态及其动力学。对环境求迹可得可能的混合态：
[
\rho_{out} = Tr_{env} \left( U_{env/sys} (|\epsilon\rangle |\psi\rangle \langle\epsilon| \langle\psi|) U_{env/sys}^{\dagger} \right)
]
等价地，该状态可以表示为输入状态 ( \rho_{in} = |\psi\rangle \langle\psi| ) 的函数：
[
\rho_{ou