48、量子纠错：原理、挑战与代码示例

量子纠错：原理、挑战与代码示例

1. 经典与量子信息编码基础

在经典信息技术中，数据以二进制编码表示，即由“0”和“1”组成的位序列。纠错的基本原理是增加用于编码给定信息量的位数，这种冗余编码的具体方式由纠错码规定。例如，三比特重复码是最简单的纠错码，编码器将每个比特值重复为 0→000 和 1→111。更正式地，三比特编码器是从“原始”二进制字母表 B 到代码字母表 C3 的映射，即 B = {0, 1}（三比特编码），C3 = {000, 111}，其中编码后的比特串“000”和“111”被称为代码 C3 的逻辑码字。

而在量子信息中，基本单位是量子比特（qubit）。一般的量子比特状态可以写成 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩，其中 α 和 β 是满足 |α|² + |β|² = 1 的复数。

2. 三比特重复码示例及代码距离

考虑一个简单的情况，要将单比特消息“0”发送到不同位置。使用三比特编码，发送的消息将是“000”码字。如果消息在传输过程中发生单个比特翻转错误，接收方收到的比特串是“010”，接收方可以通过多数表决推断出预期的码字是“000”。但如果发生两个比特翻转错误，多数表决会导致错误的码字。当所有三个比特都翻转，“000”变为“111”时，接收方无法知道发生了错误。

代码的距离定义为将一个码字变为另一个码字所需的最小错误数。代码距离 d 与可纠正的错误数 t 的关系为 d = 2t + 1。对于三比特代码，t = 1，d = 3，用 [n, k, d] 表示法，三比特重复码标记为 [3, 1, 3]。

3. 量子比特状态的几何表示与错误类型

为了更清晰地说明，将一般量子比