14、模糊聚类与分类算法：从基础到应用

模糊聚类与分类算法：从基础到应用

在数据处理与分析领域，聚类和分类是两个重要的任务。聚类旨在将未标记的数据分组，而分类则是为已知的测试数据分配标签。本文将深入探讨几种常见的模糊聚类和分类算法，包括模糊C均值（FCM）的扩展、可能性C均值（PCM）以及模糊k近邻（FKNN）分类器。

1. 模糊C均值的扩展

传统的聚类算法在处理不同形状的数据集时可能会遇到挑战。例如，欧几里得距离倾向于产生大致为超球形的聚类，对于具有超椭球形结构的数据集，如Clouds 2，就需要更合适的距离度量。

1.1 马氏距离与模糊协方差矩阵

为了处理超椭球形的聚类，可以使用特定于聚类的马氏距离：
[d^2(x_k, v_i) = (x_k - v_i)^t\Sigma_i^{-1}(x_k - v_i)]
其中，(\Sigma_i) 表示第 (i) 个聚类的估计“模糊”协方差矩阵。这种距离度量能够捕捉每个组内数据的分布，不过在算法的每一步都需要估计额外的参数。

在计算聚类中心后，需要确定特定于聚类的模糊协方差矩阵的必要条件。模糊协方差近似方程为：
[\Sigma_i = \frac{\sum_{k=1}^{n} (u_{ik})^m(x_k - v_i)(x_k - v_i)^t}{\sum_{k=1}^{n} (u_{ik})^m}]

1.2 GK - FCM算法

GK - FCM是FCM算法的扩展，它结合了模糊协方差矩阵的估计，并通过 (\Sigma_i) 的行列式的 (d) 次方根对特定于聚类的马氏距离进行缩放。这样做的目的是在每一步对聚类进行归一化，以适应不同大小的聚类。将GK - F