12、模糊系统与聚类分析全解析

模糊系统与聚类分析全解析

1. 模糊系统的通用逼近定理

模糊系统和单隐藏层非线性感知器一样，都具有通用逼近性。对于定义在欧几里得 $n$ 维空间 $\Re^n$ 的紧致子集 $D$ 上，映射到欧几里得 $m$ 维空间的连续函数 $f: D \to \Re^m$，存在一个单隐藏层感知器能在 $D$ 上一致逼近 $f$，模糊系统同样如此。

早期在 1990 年就有相关成果被提及，1992 年多种通用逼近定理的变体开始出现。由于模糊系统中定义算子和聚合函数的灵活性，该定理针对不同配置被多次重新证明。模糊规则系统和多层感知器一样，属于实（向量）值函数的通用逼近器。不过要注意，证明仅表明存在能达到任意逼近精度的模糊系统，但并未说明如何构建。与神经网络相比，模糊系统与问题的语义相关，可能使逼近过程更易理解。

2. 模糊规则的来源

模糊逻辑系统功能强大，应用广泛，从非线性控制到分类都有涉及。但人们常问：模糊规则从何而来？
- 专家经验 ：有时规则来自专家。例如，操作复杂设备的人可以用语言描述他们对各种输入条件的反应。就像用手掌平衡扫帚，虽无法在脑海中求解运动方程，但能大致判断扫帚与垂直方向的夹角（如“大”“中”“小”等），也能“感觉”扫帚的运动速率，进而得出如“如果扫帚角度为中等且缓慢远离我，那么将手向前推得较快”这样的规则。早期模糊逻辑规则控制的一个例子是在电动小车上平衡“倒立摆”。
- 数据学习 ：当有训练数据时，可通过聚类算法或其他计算智能技术（如神经网络、进化计算、群体智能等）学习模糊规则。学习规则（及其隶属函数）被视为一个优化问题，需最大化规则系统在训练数据上的性能