49、集合、基数与关系：逻辑扩展与决策过程

集合、基数与关系：逻辑扩展与决策过程

在软件验证领域，涉及集合、多重集等集合结构以及基数约束的逻辑起着至关重要的作用。这些逻辑能够帮助我们对无界数据结构和并发进程进行推理。本文将介绍如何扩展这些逻辑，使其能够计算关系和函数的直接与逆图像，并探讨相关的决策过程和复杂度。

1. 研究背景与动机

在软件的演绎验证中，常常需要证明表达性逻辑中公式的有效性。验证条件生成会直接从带注释的源代码产生这些公式，谓词抽象技术在不动点计算过程中会生成大量公式，而抽象解释则会预先计算参数化的传递函数，这些过程最终都归结为证明公式的有效性。

本文起始于可判定逻辑，其变量表示对象的集合，例如堆中动态分配的对象或并发进程。这些逻辑包含标准的集合代数运算（如交集、并集和补集）、基数运算符（用于计算集合中元素的数量），并支持对基数的线性整数算术约束。其中，QFBAPA（无量词布尔代数与Presburger算术）是一种这样的逻辑，它已被证明属于NP复杂度类，相比之前基于量词消除的NEXPTIME算法有了改进。后续还将这一结果推广到了多重集的无量词约束。

为了使集合逻辑更具实用性，本文对其进行了自然的扩展，引入了函数和关系，并支持计算集合在这些函数和关系下的图像和逆图像。这样做的主要动机在于，在验证问题中，集合和多重集通常是通过计算更具体的数据结构（往往也是集合）的图像来定义的。

2. 主要贡献

• 新的NEXPTIME - 完全逻辑 ：描述了一种包含集合、n元关系、一元函数和符号基数约束的新逻辑。
• 逻辑扩展与复杂度 ：对上述逻辑进行扩展，加入