34、量子场论中的谱密度、应力 - 能量张量及相关模型研究

量子场论中的谱密度、应力 - 能量张量及相关模型研究

1. 不同维度量子场论的谱密度差异

在量子场论中，不同维度下的谱密度表现出显著差异。在四维（$d = 4$）和二维（$d = 2$）模型中，谱系列的表现不同。二维模型中，两粒子态的贡献通常能很好地近似谱密度 $\rho(k^2)$，即使对于较大的 $k^2$ 值也是如此；而在四维模型中，两粒子态对大 $k^2$ 值的 $\rho(k^2)$ 近似效果不佳。

这是因为相空间的原因，在 $d > 2$ 的维度中，超过各种阈值时，谱密度的贡献更具发散性；而在二维中，这些贡献的阶数相同，并且在能量较大时都趋于零。因此，对于 $d > 2$ 的情况，使用与少粒子态相关的级数首项来近似大 $k^2$ 值的谱密度几乎是不可能的，而在二维中这是完全可行的。

如果考虑形式因子，二维的情况会更好。形式因子在 $n$ 粒子阈值处的行为为：
[|⟨0|O(0)|θ_1, \ldots, θ_n⟩|^2 \simeq (k^2 - nm)^{n(n - 1)}, \quad θ_1 \simeq \ldots \simeq θ_n \simeq 0]
当快度值较大时，形式因子通常趋于一个常数。这意味着二维可积模型的关联函数的谱密度在阈值处更平滑，随 $k^2$ 变化时是一个非常平滑的函数。所以，即使对于大 $k^2$ 值，仅取级数的首项就能高精度地近似谱密度，在紫外区域也能实现快速收敛。

2. 应力 - 能量张量的形式因子

应力 - 能量张量 $T_{\mu\nu}(x)$ 在量子场论中起着重要作用，其形式因子具有特殊性质。由于其守恒定律 $\partial_{\mu}T^{\