26、从量子信息视角看多体物理

从量子信息视角看多体物理

1. 双翻转模型哈密顿量分析

在研究多体物理问题时，我们会遇到不同的哈密顿量形式。对于双翻转模型，有如下哈密顿量：
[H^{(i)} {\tau}= 1 -\frac{1}{2} \sin 2\phi\sigma {z}^{i + 1}\sigma_{z}^{i + 2}-\sqrt{\cos 2\phi}\sigma_{x}^{i} \sigma_{x}^{i + 1}]
当限制在三个连续自旋 ((i - 1, i, i + 1)) 时，(H^{(i)} {\tau}) 是一个 (8\times8) 的矩阵（在其余自旋上它作为单位矩阵作用），其特征值可以使用 Mathematica 获得。经过分析，其最小特征值为 (1-\frac{1}{2}\sqrt{4 \cos 2\phi + (\sin 2\phi)^2})，其中 (\phi \in [0, \frac{\pi}{4}])。简单分析表明，这是一个关于 (\phi) 的非负函数，仅当 (\phi = 0) 时为零。所以，对于所有的 (\tau) 和 (\phi \in [0, \frac{\pi}{4}])，有 (H^{(i)} {\tau} \geq 0)，这意味着我们的哈密顿量 (H_{\tau}) 是正的。

接下来，我们区分 (H_{\tau}(\phi)) 具有零能量本征态的所有情况：
- 若 (\tau \neq 0) 或 (\tau \neq 2^N - 1)，存在 (i) 使得 (\tau_{i - 1} \neq \tau_{i + 1})，此时对应的 (H_{\tau}(\phi)) 仅当 (\phi = 0) 时可能有零特征值。当