20、异步系统建模与共享内存算法解析

异步系统建模与共享内存算法解析

1. 异步系统建模基础

在异步系统的建模中，我们有一些关键的概念和定理。首先是执行对应关系，设 (f) 是状态集合 (states(A)) 和 (states(B)) 上的二元关系。若存在一个从执行 (\alpha) 中状态的索引（出现）到执行 (\alpha’) 中状态的索引的映射 (g)，且满足以下性质，我们就说 (\alpha) 和 (\alpha’) 关于 (f) 对应：
1. (g) 是单调非递减的。
2. (g) 遍历了 (\alpha’) 的所有状态（即 (g) 的值域的上确界是 (\alpha’) 中状态索引的上确界）。
3. (g) 对应的状态对通过 (f) 相关联。
4. 在连续的 (g) 对应状态对之间，(\alpha) 和 (\alpha’) 的轨迹是相同的。

有定理表明，如果 (f) 是从自动机 (A) 到自动机 (B) 的模拟关系，那么对于 (A) 的每一个执行 (\alpha)，都存在 (B) 的一个执行 (\alpha’)，使得 (\alpha) 和 (\alpha’) 关于 (f) 对应。这个定理可用于在假设 (B) 有类似活性性质的情况下，证明 (A) 的活性性质。

2. 复杂度度量

尽管 I/O 自动机模型是异步的，但它有自然的时间复杂度概念。对于给定的自动机 (A)，我们为任务划分 (tasks(A)) 中的等价类的任何子集定义时间上界。对于任何任务 (C)，可以定义一个界 (upper_C)，它可以是正实数或 (\infty)。对于 (A) 的任何公平执行 (\alpha)，每个事件都可以关联一个实值时间，需满足以下条件：
1. 时间