18、异步系统模型中的I/O自动机：执行、操作与公平性

异步系统模型中的I/O自动机：执行、操作与公平性

1. I/O自动机的执行

I/O自动机A的执行片段是A的状态和动作交替出现的序列，它可以是有限序列 (s_0, \pi_1, s_1, \pi_2, \ldots, \pi_n, s_n)，也可以是无限序列 (s_0, \pi_1, s_1, \pi_2, \ldots, \pi_n, s_n, \ldots)，其中对于每个 (k \geq 0)，((s_k, \pi_{k + 1}, s_{k + 1})) 都是A的一个转换。需要注意的是，如果序列是有限的，它必须以一个状态结尾。从起始状态开始的执行片段被称为执行，我们用 (execs(A)) 表示A的所有执行的集合。如果一个状态是A的某个有限执行的最终状态，那么称该状态在A中是可达的。

如果 (\alpha) 是A的一个有限执行片段，(\alpha’) 是A的任意一个以 (\alpha) 的最后一个状态开始的执行片段，那么我们用 (\alpha \cdot \alpha’) 表示将 (\alpha) 和 (\alpha’) 连接起来并消除 (\alpha) 的最后一个状态的重复出现后得到的序列。显然，(\alpha \cdot \alpha’) 也是A的一个执行片段。

有时候，我们只对I/O自动机的外部行为感兴趣。因此，A的一个执行 (\alpha) 的轨迹，用 (trace(\alpha)) 表示，是 (\alpha) 中由所有外部动作组成的子序列。如果 (\beta) 是A的某个执行的轨迹，那么称 (\beta) 是A的一个轨迹，我们用 (traces(A)) 表示A的所有轨迹的集合。

示例

假设消息字母表 (M = {1, 2}