10、非线性方法在数据分析中的应用与实践

非线性方法在数据分析中的应用与实践

1. 非线性方法的决策考量

在处理数据时，我们常常需要判断对单个数据点的敏感度。这其实就是在决定是要对数据中的小特征保持最佳敏感度，还是要尽量减少对数据中特定样本随机误差的建模。这两者往往相互制约。

如果我们预计一个变量相对于另一个变量会有较大变化，且这些变化代表着值得建模的现象，那么我们认为数据的信噪比很大，此时应使用对数据变化非常敏感的方法。反之，如果我们认为一个变量相对于另一个变量只有相对较小的变化，而较大的波动是随机误差的影响，那么使用对波动相对不敏感的方法会更合适。

2. 线性框架的扩展

线性回归的基本思想是，一些变量的值可以通过描述直线的方程来预测：
[Y = \alpha + B_1X_1 + B_2X_2 + B_3X_3 + \cdots]
这里，因变量 (Y) 与一组 (X) 值呈线性关系（即 (X) 值的幂次都为 1）。实际上，各种 (X) 值本身可以是其他预测变量的非线性函数。通过对预测变量进行非线性变换后再进行线性回归，我们就能对变量之间的非线性关系进行建模。

3. 多项式回归

将线性框架扩展到非线性关系的最简单方法是多项式回归。其思路是将一些预测变量进行平方或立方运算，这些平方或立方后的预测变量本身被视为不同的预测因子。

例如，我们要拟合一个二次多项式：
[Y = \alpha + B_1X_1 + B_2X_2 + B_3X_2^2]
这不是一个线性回归公式，但我们可以通过声明一个新变量 (B_3) 并令其等于 (X_2^2)，将其转化为线性回归公式：
[Y = \alpha +