14、回归分析：原理、方法与应用

回归分析：原理、方法与应用

回归分析是统计学中用于研究变量之间关系的重要方法。它在众多领域，如医学、天文学、生物学等，都有着广泛的应用。本文将深入探讨回归分析的各种类型，包括简单线性回归、多元回归、非线性回归等，并结合具体案例进行详细分析。

1. 回归分析的起源

回归这一概念最早由英国科学家弗朗西斯·高尔顿（Francis Galton）提出。他在研究父子身高关系时发现，非常高或非常矮的父母，其儿子的身高通常比平均身高高或矮，但不会像父母那样极端。这一现象被称为“向平庸回归”，并于1886年发表了相关研究成果。此后，回归逐渐成为研究两个或多个变量之间函数关系的统计方法。

2. 简单线性回归

2.1 模型设定

假设我们观察到 (n) 对数据 ((x_1,y_1),\cdots,(x_n,y_n))，每个观测值 (y_i) 可以建模为 (x_i) 的线性函数加上一个误差项，即 (y_i = \beta_0 + \beta_1x_i + \epsilon_i)，其中 (\beta_0) 和 (\beta_1) 分别是总体截距和斜率参数，(\epsilon_i) 是误差项。我们假设误差项不相关，均值为 0，方差为 (\sigma^2)。

2.2 案例分析：儿童糖尿病研究

以研究儿童胰岛素依赖型糖尿病中血清 C - 肽水平与碱缺乏之间的关系为例。响应变量 (y) 是诊断时 C - 肽浓度的对数，预测变量 (x) 是碱缺乏，用于衡量酸度。

在MATLAB中，我们可以按照以下步骤进行分析：

Defici