11、方差分析与实验设计基础

方差分析与实验设计基础

1. 引言

在许多实验中，我们常常需要比较多个总体的均值是否相等。如果直接对所有可能的均值对进行 t 检验，会导致第一类错误的概率过大。而方差分析（ANOVA）则是一种更合适的方法，用于检验多个均值是否相等，它在统计学中应用广泛，其背后的原理也适用于其他看似不同的问题。

2. 单因素方差分析

2.1 模型设定

假设我们要检验 k 个独立总体 (P_1, \cdots, P_k) 的均值 (\mu_1, \cdots, \mu_k) 是否相等。从第 (i) 个总体 (P_i) 中抽取样本 (y_{i1}, y_{i2}, \cdots, y_{in_i})，样本大小为 (n_i)，总样本大小 (N = \sum_{i = 1}^{k} n_i)。响应变量 (y_{ij}) 可以建模为：
[y_{ij} = \mu_i + \epsilon_{ij}, 1 \leq j \leq n_i; 1 \leq i \leq k]
其中，(\epsilon_{ij}) 表示“误差”，量化了观测值 (y_{ij}) 与相应总体均值 (\mu_i) 之间的随机差异。单因素方差分析的零假设是所有总体均值 (\mu_i) 相等，其假设条件如下：
- 所有总体都服从正态分布。
- 所有总体的方差相同且恒定，即具有同方差性。
- 样本相互独立。

2.2 ANOVA 表与 F 检验原理

数据的变异性遵循基本的 ANOVA 恒等式，总平方和（SST）可表示为处理平方和（SSTr）与误差平方和（SSE）之和：
[SST = SSTr + SSE = SS_