6、正态分布的奥秘：理论、应用与实践

正态分布的奥秘：理论、应用与实践

1. 正态分布简介

正态分布在统计学中占据着至关重要的地位。许多自然和社会现象都可以用正态分布来建模。即便某些测量数据不能直接用正态分布描述（如偏态、离散或多峰数据），在非常宽松的条件下，它们的样本均值也会近似服从正态分布。这一特性使得正态分布在统计学中无处不在，许多估计量、检验统计量和非参数检验在样本量较大（通常大于 20 到 30）时都近似服从正态分布。

1.1 正态分布的起源

1738 年，亚伯拉罕·棣莫弗（Abraham de Moivre）将正态分布作为二项分布的近似提出，随后拉普拉斯（Laplace）在 1783 年用它来研究测量误差，高斯（Gauss）在 1809 年将其用于天文数据分析。“正态”这个名称来自凯特勒（Quetelet），他通过研究发现许多人类特征，如 5738 名苏格兰士兵的胸围、100000 名法国新兵的身高以及人们的体重和身高，都呈现出钟形分布。基于他对身高和体重的研究，还衍生出了国际公认的肥胖测量指标——凯特勒指数（QI），即身体质量指数（BMI），计算公式为 QI =（体重（千克））/（身高（米）的平方）。

1.2 正态分布的概率密度函数（PDF）

正态随机变量的概率密度函数为：
[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x - \mu)^2}, -\infty < x < \infty]
其中，(\mu) 是均值，(\sigma^2) 是方差。随机变量 (X) 服从正态分布可表示为 (X \sim N(\mu, \sigma^2))。